Bing sling isotopy to unknot

Question

Rolfsen se preguntó si algún nudo es topológicamente isotópico al nudo. Donde una isotopía topológica es un camino continuo en $\operatorname{Emb}(S^1,\mathbb{R}^3)$ .

A partir de ahora utilizaré isotopía para referirme a isotopía topológica, como se ha indicado anteriormente. Nótese que no es lo mismo que isotopía suave, que es la relación de equivalencia estándar utilizada en la teoría de nudos.

Por ejemplo, el nudo trébol es isotópico al nudo deshecho. Una animación de esto se muestra en Respuesta de Jim Belk a ¿Qué dos nudos son isotópicos pero no isotópicos ambientales? .

Actualmente se sabe que todo nudo PL es isotópico al nudo deshecho y, de hecho, cualquier nudo salvaje que sea localmente plano al menos en un punto también es isotópico al nudo deshecho (informalmente, escogiendo una vecindad mansa e isotopando todo lo que quede fuera de ella a un punto).

Sea $K$ sea un nudo en $\mathbb{R}^3$ y considerar la vecindad localmente plana $(U,K\cap U)\cong (\mathbb{R}^3,\mathbb{R})$ entonces $K$ perfora un disco en cada punto $x\in K\cap U$ . Así, se conjeturó que un contendiente para un contraejemplo debía fallar un disco en cada punto. La honda Bing es un ejemplo de ello. Es interesante que esta condición no sea suficiente. Un ejemplo de nudo que no perfora un disco en cada punto y que también limita un disco (y por tanto es isotópico al nudo) fue construido por Gilliman en Secuencialmente 1-ULC tori . Todavía está abierto si la honda Bing es isotópica a la unkot.

La honda Bing es el límite de una secuencia de toros anidados de los cuales sólo el primero es unkotted. Mi pregunta (probablemente estúpida) es por qué no se puede definir una isotopía de la eslinga de Bing y el nudo contrayendo este toro a su centro. Es decir, elegimos una familia de homeomorfismos del espacio 3 que fija la frontera del primer toro sin nudos pero contrae todo lo que hay dentro hasta su centro. La eslinga de Bing está dentro de este toro, así que definimos la isotopía como la familia de mapas cuya imagen es la composición de la incrustación estándar de la eslinga de Bing en el primer toro compuesta con el homeomorfismo de contracción que fija la frontera del toro.

Esto define una pseudoisotopía (un mapa continuo $F: S^1\times I\rightarrow \mathbb{R}^3$ donde $F(-,t)$ es una incrustación para $t\in [0,1)$ pero sólo continua durante al $t=1$ ). Me cuesta ver cuál es el problema de ampliar la isotopía. La cuestión aquí parece $F(-,1)$ de alguna manera no será inyectiva, pero estoy fallando en describirlo presicely. Apreciaría cualquier ayuda - Estoy seguro de que debo estar perdiendo algo trivial.

Answer 1

En primer lugar, me gustaría hacer algunas convenciones. Nudos $J$ y $K$ son isotópico no ambiental si existe una incrustación que preserva el nivel $e:J \times [0,1]\to S^3 \times [0,1]$ tal que $e(J \times \{0\}) = J \times \{0\}$ y $e(J \times \{1\}) = K \times \{1\}$ . Creo que eso es lo que OP quiere decir con isotopía topológica de incrustaciones. Por razones históricas, prefiero llamarla isotopía no ambiental para distinguirla de la que más estudian los teóricos de nudos.

Una curva cerrada simple $J$ se dice que pierce un disco $D$ si $J$ enlaces $Bd D$ y $J \cap D$ es un único punto.

Es un hecho. Todo nudo que atraviesa un disco dócil es isotópico no ambiental a un nudo.

Robé la prueba pictórica de Preimpresión de Ric Ancel .

En Eslinga Bing es un nudo salvaje que no atraviesa ningún disco y cada punto de él es salvaje. La siguiente imagen está tomada de la página 81 de El libro de Daverman-Venema . También se puede encontrar una similar en el preprint de Ancel. La eslinga de Bing es la intersección de los toros anidados. Aunque la eslinga de Bing (denotada por) $\Sigma$ parece intimidante, sería un ejercicio divertido demostrar que la honda Bing (la curva más interna) es homeomorfa al núcleo $J$ de $T_1$ . O se puede reembolsar el $J$ por infinitas veces por lo que el límite es la honda Bing.

A gran pregunta abierta es si cada nudo es no-ambientalmente isotópico a un nudo. (No estoy seguro de si se debió primero a Rolfsen). Además, se desconoce si la eslinga Bing es no-ambientalmente isotópica a un nudo.

Si he entendido bien, el enfoque descrito en OP acerca de apretar $T_1$ hacia $\Sigma$ por lo que existe una secuencia de homeomorfismos sucesivos que envían el núcleo $J$ de $T_1$ en $\Sigma$ se lleva a cabo en el preimpreso de Ancel. En realidad, demostró algo más general, pero por desgracia, un resultado parcial a lo que esperaba OP.

Teorema. Todo nudo es semi-isotópico a un nudo.

Un nudo $J$ es semi-isotópico a un nudo $K$ si hay anillo $A$ es $S^3 \times [0,1]$ tal que $\partial A = (J \times \{0\}) \cup (K \times \{1\})$ y existe un homeomorfismo $e: S^1 \times [0,1) \to A - (K \times \{1\})$ tal que $e(S^1 \times \{t\}) \subset S^3 \times \{t\}$ para cada $t \in [0,1)$ .
Sin embargo, $e$ puede no extenderse continuamente al homeomorfismo de $S^1 \times [0,1]$ en $A$ . No sé cómo llevar esta idea más lejos porque los nudos como la honda de Bing son salvajes en todas partes, no se puede simplemente contraer la parte salvaje a un punto. Un breve esbozo del argumento de Ancel es el siguiente: Todo nudo $J$ puede considerarse como un subconjunto del interior de un toroide sólido sin nudos $T$ . Sea $K$ sea el núcleo de $T$ . Entonces hay un mapa obvio $\pi: T \to K$ apretando $T$ hacia el núcleo. Dado que $\pi|J: J \to K$ es una equivalencia homotópica, $\pi|J: J \to K$ es homotópico a un homeomorfismo $\chi: J \to K$ . Utilizando el mapa de remolinos, se puede construir un remolino cartográfico $Swl(\pi|J)$ entre $J$ y $K$ . A grandes rasgos, es como un cilindro cartográfico retorcido. Resulta que $Swl(\pi|J)$ es homeomorfo a un cilindro de mapeo $Cyl(\chi)$ . Por lo tanto, $Swl(\pi|J)$ menos el extremo derecho es homeomorfo a un anillo $A - (K \times \{1\})$ y cada nivel de la misma es un homeomorfismo. Así que las cosas antes de $t =1$ pueden alinearse muy bien (en mi opinión, es como "peinar" hacia $K$ ), pero no está claro qué ocurrirá al final $K$ en el cilindro cartográfico.

Observación. Creo que un punto de vista filosófico ayudaría a ilustrar la dificultad. Tenga en cuenta que, en general $Homeo(X,Y)$ no se cierra en $C(X,Y)$ -- el espacio de funciones continuas de $X$ a $Y$ . Una secuencia arbitraria de Cauchy de homeomorfismos en $Homeo(X,Y)$ puede no converger a un homeomorfismo, la inyectividad es un problema. Un enfoque comúnmente utilizado para extender el homeomorfismo al límite es cuando se construye una secuencia de homeomorfismos $h_k:X\to Y$ recursivamente, es necesario imponer un control que limite la distancia entre $h_k$ y $h_{k+1}$ después de $h_1,\dots,h_k$ están todos especificados. Debido a la naturaleza salvaje de nudos como la honda de Bing, no es fácil colocar un control tan deseado. El argumento de Ancel no nos dice cómo encontrar el siguiente $h_{k+1}$ .

Answer 2

Vale, creo que (con suerte) tengo una idea de lo que está fallando aquí. Permítanme intentar dar un esquema:

Consideremos primero el ejemplo que escribí en los comentarios a la respuesta de Shijie Gu.

Sea $\pi:D\rightarrow S^1$ sea la doble cubierta del círculo por sí mismo $D\cong S^1$ . Podemos ver $D\subset Int(T)\subset \mathbb{R^3}$ donde $T$ es un toro sólido con centro $C\cong S^1$ .

Entonces podemos definir una pseudo isotopía (una isotopía pero en la que uno de los extremos del camino trazado por $Emb(S^1,\mathbb{R}^3)$ no es una incrustación) como hemos hecho en la pregunta: contrayendo el toroide sobre su centro $C$ . Supongamos de hecho que esto se extiende a una isotopía $F_i:S^1\rightarrow \mathbb{R}^3$ para $i\in[0,1]$ con $F_0(S^1)=D$ y $F_1(S^1)=C$ (donde el $F_i$ para $i\in[0,1)$ vienen dadas por la contracción del toroide y $F_1\in Emb(S^1,\mathbb{R}^3)$ es la extensión "problemática"). Considere una línea $l$ (o potencialmente trayectoria) que intersecciona $C$ en exactamente un punto pero intersecando $F_i(S^1)$ en exactamente dos puntos para todo $i\in[0,1)$

Considere $U=\mathbb{R}^3\setminus l$ y su preimagen bajo la isotopía total $F:S^1\times I\rightarrow \mathbb{R}^3$ . En $F(x,i)=F_i(x)$ en la notación anterior. Por construcción $F^{-1}(U)$ es el subconjunto del cilindro $S^1\times I$ obtenido eliminando un camino cerrado (homeomorfo a $[0,1]$ de una frontera ( $S^1\times \{0\}$ ) al otro ( $S^1\times \{1\}$ ) y un camino semiabierto (homeomorfo a $[0,1)$ ) del límite $S^1\times \{0\}$ con punto límite (no alcanzado) en $S^1\times \{1\}$ . Esto no está abierto así que $F_i$ no puede extenderse a una isotopía.

En el caso del Bing Sling, el argumento es muy similar. Excepto que cuando elegimos una línea $l$ interseca la honda de Bing en un conjunto de puntos de Cantor. Sin embargo el argumento es el mismo la preimagen de $U=\mathbb{R}^3\setminus l$ bajo la isotopía total es un cilindro menos un conjunto de Cantor de arcos semiabiertos disjuntos sólo uno de los cuales es un arco real.