He tenido algunas dificultades para determinar el grupo de Galois $Gal \Big(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\sqrt{-3})}{\mathbb{Q}}\Big)$ porque no sabía exactamente cómo calcular el orden de los elementos. Véase aquí para el cálculo de los pedidos y el orden del grupo.
Sin embargo, estoy llegando a dos conclusiones contradictorias. Obtengo que el orden del grupo es 6 y que todos los elementos no identitarios son de orden 2. Sin embargo, sé que esto no puede ser así ya que sólo existen el grupo diedrico y el grupo cíclico de orden 6 y en ambos se encuentran elementos de orden tres.
¿Qué estoy haciendo mal?
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline notation & \sqrt[3]{3} & \sqrt{-3} & order \\ \hline Id & \sqrt[3]{3} & \sqrt{-3} & 1\\ \hline & \sqrt[3]{3} & -\sqrt{-3} & 2\\ \hline & \omega \sqrt[3]{3}& \sqrt{-3}& 2\\ \hline & \omega \sqrt[3]{3}& -\sqrt{-3}& 2\\ \hline & \omega^2 \sqrt[3]{3}& \sqrt{-3}& 2\\ \hline & \omega^2 \sqrt[3]{3}& -\sqrt{-3}& 2\\ \hline \end{array}
Hago los cálculos considerando que $\omega = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$ . Así, por ejemplo, si calculo el orden del isomorfismo que envía a $\sqrt[3]{3} \mapsto \omega^2 \sqrt[3]{3}$ y $\sqrt{-3} \mapsto -\sqrt{-3}$ Observo que dos aplicaciones de este isomorfismo sobre $\sqrt{-3}$ dará la identidad y para el otro elemento tengo la siguiente cadena $\sqrt[3]{3} \mapsto \omega^2 \sqrt[3]{3} \mapsto \omega \omega^2 \sqrt[3]{3}$ observando que $\omega^2 \mapsto \omega$ .
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Permítanme actualizar la tabla sobre la marcha:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline notation & \sqrt[3]{3} & \sqrt{-3} & order \\ \hline Id & \sqrt[3]{3} & \sqrt{-3} & 1\\ \hline & \sqrt[3]{3} & -\sqrt{-3} & 2\\ \hline & \omega \sqrt[3]{3}& \sqrt{-3}& 3\\ \hline & \omega \sqrt[3]{3}& -\sqrt{-3}& 2\\ \hline & \omega^2 \sqrt[3]{3}& \sqrt{-3}& 3\\ \hline & \omega^2 \sqrt[3]{3}& -\sqrt{-3}& 2\\ \hline \end{array}
Así que concluyo que el grupo es diedrico de 6 elementos. Gracias a todos.
