Comparación de sumas e integrales discretas

Question

Integral es la suma de números continuos. Tomando por ejemplo la gráfica de $y=x$ para $x$ entre $[0,2]$ el área/integral es $2$ . Ahora si tomo la suma para discretos $y=x$ , $x \in \mathbb{Z}$ entre $[0,2]$ la suma es 3.

Lo que me pregunto es cómo la suma sobre términos continuos (que sí incluye los términos discretos) es menor que la suma sobre términos discretos.

Answer 1

Pensar en la integral como suma de números continuos es, en el mejor de los casos, poco sólido, y tu pregunta es un buen ejemplo de por qué. En su lugar, una mejor comparación puede hacerse con la suma de áreas de rectángulos de cierta anchura (digamos, w ) cuyas alturas coinciden con la función (es decir x ). Cuanto menor sea la anchura de las barras, más se acercará a la integral. Ambas se igualan a medida que la anchura de las barras se hace infinitesimalmente pequeña.

Intentaré ilustrarlo con algunas imágenes. En primer lugar, aquí tienes una imagen que representa tu ejemplo. La suma de enteros está representada por barras amarillas de anchura 1, mientras que la integral está representada por el área verde.

Puedes ver que la suma de barras tiene un espacio rectangular extra, de altura 2 y anchura 0,5, en el extremo derecho. Por eso su suma es 1 más que la integral.

Se puede lograr una mejor aproximación si reducimos la anchura de las barras. Por ejemplo, en la siguiente imagen, w = 0.25 : Claramente, el área de las barras está ahora más cerca de la integral real que en el ejemplo anterior. La misma tendencia continúa a medida que se van estrechando las barras, hasta que finalmente convergen exactamente a la integral como w tiende a 0.

Answer 2

Como ya han señalado aksadv y los comentarios, las sumas y las integrales producen resultados similares, pero son conceptos distintos que deben evaluarse de forma diferente. Dicho esto, a menudo se aprovecha la similitud de sus resultados utilizando integrales sencillas para aproximar sumas difíciles y viceversa.

Por ejemplo, $\sum_{n=1}^N n^k$ es una suma difícil, pero $\int_1^N x^k \, dx$ es bastante simple, por lo que utilizando la integral y la Fórmula de suma de Euler-Maclaurin que caracteriza la diferencia entre las dos, podemos encontrar una fórmula exacta para la suma.