Dado que su relación de aspecto es >2, como primera pasada, podría aplicar el modelo de tira bimetálica:
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Timoshenko publicó una solución para la curvatura correspondiente en "Análisis de termostatos bimetálicos", J. Opt. Soc. Am. 11, 233-255 (1925) :
\kappa = \frac{1}{\rho}=\frac{6 E_1 E_2 (t_1 + t_2)t_1 t_2 \epsilon }{E_1^2 t_1^4 + 4 E_1 E_2 t_1^3 t_2 + 6 E_1 E_2 t_1^2 t_2^2 + 4 E_1 E_2 t_2^3 t_1 + E_2^2 t_2^4},
o
\kappa= \frac{\varepsilon}{t}\cdot\frac{6(1+m)^2 }{3(1+m)^2+(1+mn)\left(m^2+\frac{1}{mn}\right)},
o
\kappa= \frac{\varepsilon}{t}\cdot\frac{6 (m+2 + m^{-1}) }{n m^2 + 4 m + 6 + 4 m^{-1} + n^{-1} m^{-2}},
donde \kappa es la curvatura, \rho es el radio de curvatura, t_1 y t_2 son respectivamente los espesores de las bandas 1 y 2 (con m=t_1/t_2 y t=t_1+t_2 ), E_1 y E_2 son los módulos de Young correspondientes (con n=E_1/E_2 ), y \varepsilon = (\alpha_1-\alpha_2)\Delta T es la tensión de desajuste térmico.
La derivación es la siguiente, adaptada de la Artículo de Wikipedia sobre la banda bimetálica .
Sea la capa del lado cóncavo la capa 1 y la del lado convexo la capa 2. La capa 1 está en tensión con una fuerza hacia el exterior en cada extremo de F_1 mientras que la capa 2 se comprime con una fuerza hacia el interior en cada extremo de F_2 . Porque el sistema está en equilibrio, F_1=F_2=F .
En cada extremo de la capa 1 se produce un momento flector M_1 y lo mismo para la capa 2. Si \rho es el radio de curvatura, entonces M_1=E_1I_1/\rho y M_2=E_2I_2/\rho donde EI es la rigidez a la flexión, E es el módulo de Young y I es el momento de inercia del área o segundo momento del área. Para una sección transversal rectangular de anchura w , I_1=wt_1^3/12 y I_2=wt_2^3/12 . La pareja producida por las fuerzas F actuando a lo largo de las líneas medias de cada capa y separadas por t_1/2+t_2/2=t/2 es Ft/2 y porque la banda está en equilibrio y no hay pares externos aplicados, Ft/2=M_1+M_2 . Por lo tanto,
\frac{Ft}{2}=\frac{w}{12\rho}(E_1t_1^3+E_2t_2^3).
Consideremos ahora la superficie de contacto entre las dos capas. La longitud de esta superficie para la capa 1 es L_0\left(1 + \alpha_1\Delta T + \frac{F_1}{wt_1E_1} + \frac{t_1}{2\rho}\right) donde T_0 es la temperatura a la que la banda está recta, L_0 es la longitud de la capa cuando la temperatura T=T_0 (es decir, cuando está recta y no está sometida a la tensión de la capa 2), y \alpha_1 es el coeficiente de dilatación térmica (el aumento fraccionario de la longitud por unidad de aumento de la temperatura). El segundo término es el cambio fraccional de longitud producido por la dilatación térmica, y el tercero es la deformación inducida por la tensión. F_1/wt_1 debido a la fuerza F_1 que actúa sobre el área del extremo (positiva porque la fuerza es de tracción). El último término es la longitud adicional de la superficie de contacto con respecto a la línea media de la capa 1 (positiva porque la superficie de contacto es la superficie exterior, convexa). Del mismo modo, la longitud de esta superficie para la capa 2 es L_0\left(1 + \alpha_2\Delta T - \frac{F_2}{wt_2E_2} - \frac{t_2}{2\rho}\right) (signos negativos porque la fuerza es de compresión y el contacto se produce en la superficie interior). Dado que las superficies están unidas,
\alpha_1 \Delta T + \frac{F}{wt_1E_1} + \frac{t_1}{2\rho}=\alpha_2( T - T_0) - \frac{F}{wt_2E_2} - \frac{t_2}{2\rho}.
Reorganización para extraer \kappa=1/\rho Recogida de plazos y eliminación F utilizando la ecuación anterior produce la ecuación anterior.
Si n es muy pequeño, como en este caso, entonces podemos simplificar la ecuación anterior a
\kappa\approx\frac{6\varepsilon(1+m)^2mn}{t}.
Si además los grosores son similares, entonces
\kappa\approx\frac{24\varepsilon n}{t}.
¿Tiene sentido?
