Que 1 implica 3 es estándar y aparece en la mayoría de los libros de texto en los colectores, que incluyen campo de vectores de flujos, se sigue un estándar de existencia y unicidad argumento.
3 implica 1 es un poco más de trabajo, pero es bastante estándar, un argumento así. La idea es que si el colector no es compacto, usted puede tomar una adecuada función de Morse en el colector, $f : M \to [0,\infty)$. Si se re-escala la gradiente como $\frac{f^2}{1+|\nabla f|^2}\nabla f$, sus líneas de flujo no puede ser completa, ya que golpea el infinito en un tiempo finito. Y técnicamente no es necesario ningún Morse de la teoría para llegar a esta conclusión. Es suficiente con tener una correcta función $f : M \to [0,\infty)$ a continuación, muestran que se puede incrustar un arc $p : [0,\infty) \to M$$M$, de modo que $f(p(x)) = x$ todos los $x$. Puede definir una incompleta campo vectorial cuya línea de flujo es la imagen de $p$, luego se extenderá a $M$.
Relacionar 1 y 2 aviso de que en un colector, un subespacio es compacto, conectado y abierto significa un camino-componente. Si usted toma un colector y el colapso de cada ruta-componente a un punto (el camino-componente de espacio), se obtiene un espacio discreto. Así que esto le da 1 implica 2. El recíproco de 2 implica 1 se sigue del argumento en mi comentario de Mariano arriba, si no compacta usted puede tomar una clavada de manera adecuada el arco, corte a lo largo de ella y la auto-embed. En el reverso de este incrusta su colector en una más grande del colector.
