¿Qué es una función?

Question

He estado bastante confundido por la definición de funciones y sus usos.. En primer lugar, ¿se pueden definir las funciones de forma comprensible, con una explicación clara de sus usos, cómo funcionan y qué hacen?

También tengo algunas preguntas específicas sobre las funciones
Le daré algunos ejemplos:

1. $y = f(x) \rightarrow$ Esta es una de las principales razones por las que tengo dificultades para entender las funciones...
   ¿Qué me dice la afirmación anterior, y si $y$ es una función ¿por qué utilizamos $y=$ en absoluto para una fórmula como $y = mx + b$ ¿sería lo mismo que escribir $f(x) = mx + b$ ?
2. Algo así como $y = x^2$ es aparentemente una función...... pero ¿dónde está el nombre de la función? ¿Cuál es la entrada y cuál es la salida?
3. Por último otro ejemplo : Supongamos $f =$ distancia
   $f(t) = t^2$
   $f(2) = 4 \rightarrow$ ¿Significa esto que la distancia es $4$ .. ¿cuál es la entrada y cuál es la salida?

Principalmente lo que busco en una respuesta es una explicación clara y "fácil" con ejemplos que me ayuden a entender este nuevo tema

Answer 1

Una función es un conjunto de operaciones matemáticas realizadas sobre una o varias entradas (variables) que dan como resultado una salida. Por ahora, las funciones tomarán uno o más números reales como entrada y devolverán una salida numérica. En clases más avanzadas aprenderás funciones mucho más complejas. Sin embargo, una función simple puede devolver la entrada más uno. Tal función se vería así:

Y = X + 1

En este caso, X en el valor de entrada, e Y es la salida. Al introducir cualquier número en X, calculamos la salida correspondiente en Y simplemente sumando uno. El conjunto de posibles valores de entrada se conoce como dominio, mientras que el conjunto de posibles salidas se conoce como rango.

He aquí otros dos ejemplos del aspecto de las funciones:

1) y = 3x - 2

2) h = 5x + 4y

Examinemos el primer ejemplo:

En la función y = 3x - 2, la variable y representa la función de cualquier entrada que aparezca al otro lado de la ecuación. En otras palabras, y es una función de la variable x en y = 3x - 2. Por eso, a veces vemos la función escrita de esta forma:

f(x) = 3x - 2

¿Qué significa f(x)?

Significa lo mismo que y= delante de una ecuación. Puesto que y no tiene ningún significado y es sólo una letra arbitraria que representa la salida de la función, a veces se escribe f(x) para indicar que la expresión es una función de x. También se escribe g(x), h(x), etc., pero f(x) es la más común porque la función empieza por la letra f.

Answer 2

1) En términos generales, un (numérico) function es cualquier regla que asocia, a cualquier número de un determinado conjunto, otro número. Si la función recibe el nombre $f$ y si $x$ está en el conjunto (que se denomina domain de la función), el número correspondiente se denomina f(x) . En function $f$ es diferente del particular number $f(x)$ .

Se puede ver como una tecla en una calculadora de bolsillo: la tecla sin sería la función seno; al introducir el número 30 como $x$ y, a continuación, pulse la tecla "sin", obtendrá 0.5 que es el value de la sine function en 30 degrees - al menos si tu calculadora utiliza ángulos en grados para las funciones trigonométricas. Normalmente se escribe como $sin(30)=0.5$ .

2) $y=x^2$ es una forma de definir el square pero no se le da ningún nombre. En sentido estricto, habría que escribir: "Que $f$ sea la función definida por $f(x)=x^2$ ' en lugar de la abreviatura: 'Considere la función $y=x^2$ '. La entrada es $x$ y la salida es $x^2$ .

3) En $f(2)=4$ (en este caso concreto, preferiría denominar la función ' $d$ (puede dar a una función el nombre que desee), la entrada es 2 y la salida es 4 .

Answer 3

¿Alguien cree realmente que una persona que se esfuerza por comprender la idea básica de una función se verá iluminada por la metáfora de la entrada y la salida, los tecnicismos de la teoría de conjuntos, los puntos finos de la terminología y la notación, las definiciones oscuras que distinguen una ecuación de una función, las "definiciones formales", la mención de las derivadas, etc.?

Después de conocer las cantidades, surge la interesante pregunta de cómo podemos afirmar que dos no especificadas pueden estar relacionadas. Nuestro mundo está lleno de cantidades RELACIONADAS, como el área de un círculo y su radio, cómo se relaciona el peso de una cantidad de agua con su volumen, etcétera.

La respuesta más sencilla a esta pregunta es utilizar un símbolo no numérico para representar una de las cantidades y, a continuación, mostrar las operaciones con ese símbolo que producen la cantidad relacionada. Este objeto matemático se llama "expresión". Este es el origen de la idea de que una cantidad da lugar a la otra.

Algunas relaciones no pueden expresarse mediante una expresión que utilice operaciones aritméticas básicas, por lo que las definimos por otros medios, como las series, y les damos un nombre, por ejemplo, las funciones trigonométricas.

La idea de nombrar explícitamente la llamada "variable dependiente" surgió al darse cuenta de que nos permite expresar una función como lo que se denomina una "función implícita", lo que significa que ambas variables aparecen en una expresión, como xy=1. En ocasiones, éstas pueden convertirse en lo que se denomina una "ecuación de función explícita" de la forma y es igual a una expresión en x.

Existen otras formas de funciones que incluyen tablas, funciones compuestas, gráficas (curvas en un espacio de coordenadas), series infinitas de expresiones, algoritmos verbales o programas de ordenador donde describimos los pasos para convertir la variable en su cantidad relacionada, soluciones de ecuaciones diferenciales con condiciones, funciones dadas por integrales, nomogramas, y otras.

También hay muchos otros aspectos de las funciones, como las funciones inversas, las funciones definidas a trozos, las funciones simétricas y otros tipos de funciones, clasificadas de distintas maneras. Las funciones tienen propiedades. El cálculo diferencial se ocupa de una de sus propiedades.

Cuando es deseable decir que existe una función que no estamos especificando, utilizamos la notación f(x) como sustituto de y.

Como ya han dicho otros, x e y son meras convenciones.

Hay muchos detalles en cada una de estas representaciones y aspectos de las funciones, todos perfectamente sensatos; pero hay que explicitar el sentido.

La gran pena es que no disponemos de una ciencia de la explicación.

Answer 4

Estás en una mesa. Hay algunos objetos colocados delante de ti. Tienes una hoja de etiquetas. Pones todas las etiquetas. Un objeto puede tener cero o más etiquetas, pero cada etiqueta debe estar exactamente en un objeto.

En dominio son las etiquetas. En codominio son los objetos (incluidos los que no se etiquetan). El sitio función es su elección de etiquetado. En espacio funcional son todas las opciones posibles de etiquetado. Una función podría incluso manifestarse como una imagen de la tabla con sus objetos etiquetados, y entonces usted podría tratar esta imagen como una etiqueta o como un objeto para otra función.

Si su elección de etiquetado sigue una regla sencilla, entonces hay una forma sencilla de describir su elección de etiquetado. Por ejemplo, imagina que las etiquetas son una copia de los números reales y los objetos son otra copia de los números reales.

Tal vez tu regla sea que un objeto es el doble de grande que la etiqueta que lleva adherida. Entonces su elección de etiquetado podría describirse como " $x \mapsto 2x$ ".

O tal vez su norma es que el " $0$ "va en la etiqueta " $1$ ", y además, que si colocas cada objeto etiquetado en el plano cartesiano, donde la etiqueta corresponde a su posición izquierda-derecha y el propio objeto corresponde a la posición abajo-arriba, entonces la pendiente de la curva en cualquier punto es igual al propio objeto. Entonces tu elección de etiquetado podría describirse como " $\exp$ ", o de forma equivalente como " $x \mapsto e^x$ ".

En cualquier caso, $x$ es no es una variable . Es simplemente un marcador de posición en la descripción. No tiene ningún otro significado. Podría utilizar cualquier símbolo como marcador de posición; la elección de " $x$ "es arbitraria.

Aunque no todas las funciones tienen una regla sencilla para describirlas, se puede nombre cualquier función que se te ocurra. Incluso puedes decir "let $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ " (es decir, "asumir $f$ es alguna elección de cómo etiquetar los números reales con los números reales") y luego proceder a sacar conclusiones armadas sólo con el conocimiento de que $f$ es un objeto en el espacio de las funciones de valor real.

Si el nombre de una función es " $f$ ", entonces pronunciamos " $f(1)$ " como " $f$ de $1$ ", y lo que realmente queremos decir es "el objeto que $f$ asigna la etiqueta $1$ a". Aunque todo lo que sepas sobre $f$ es que $f:\mathbb{R} \rightarrow A$ , todavía sabes $f(1)$ es un objeto del conjunto denominado " $A$ ".

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En cuanto a los ejemplos concretos de la OP:

" $y=f(x)$ "es una ecuación. Toda ecuación no es más que una afirmación de un hecho. Añade algo de conocimiento al contexto. Dice: "Independientemente de lo que sepamos (o no sepamos) sobre $y$ , $f$ y $x$ ahora sabemos que $x$ es una etiqueta en el dominio de $f$ , $y$ es un objeto en el codominio de $f$ y $f$ asigna la etiqueta $x$ al objeto $y$ ."

" $y=x^2$ " es igualmente una ecuación, un conocimiento que se añade al contexto. La función es $\square^2$ . Simplemente está escrito de forma diferente a otras funciones.

" $f$ es la distancia; $f(t)=t^2$ ; $f(2)=4$ "(también puede escribir " $f = \square^2$ "): se trata de una afirmación sobre el sistema físico que se está modelando. Una afirmación que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de lo que se observe. La afirmación es que si se mide el tiempo y la distancia, entonces la relación entre esas mediciones es la misma que la relación entre las etiquetas y los objetos de $f$ .