¿Qué es una función?

Question

He estado bastante confundido por la definición de funciones y sus usos.. En primer lugar, ¿se pueden definir las funciones de forma comprensible, con una explicación clara de sus usos, cómo funcionan y qué hacen?

También tengo algunas preguntas específicas sobre las funciones
Le daré algunos ejemplos:

1. $y = f(x) \rightarrow$ Esta es una de las principales razones por las que tengo dificultades para entender las funciones...
   ¿Qué me dice la afirmación anterior, y si $y$ es una función ¿por qué utilizamos $y=$ en absoluto para una fórmula como $y = mx + b$ ¿sería lo mismo que escribir $f(x) = mx + b$ ?
2. Algo así como $y = x^2$ es aparentemente una función...... pero ¿dónde está el nombre de la función? ¿Cuál es la entrada y cuál es la salida?
3. Por último otro ejemplo : Supongamos $f =$ distancia
   $f(t) = t^2$
   $f(2) = 4 \rightarrow$ ¿Significa esto que la distancia es $4$ .. ¿cuál es la entrada y cuál es la salida?

Principalmente lo que busco en una respuesta es una explicación clara y "fácil" con ejemplos que me ayuden a entender este nuevo tema

Answer 1

Una función requiere algunas entradas y para cada combinación válida de entradas produce una salida. Lo que es válido viene determinado por dominio que a veces se especifica y otras se deja a la deducción del lector. El problema se plantea al hablar de gráficas, porque históricamente se han utilizado letras simples para referirse a cantidades cambiantes, y todavía se hace en muchas áreas de las matemáticas. Cuando decimos que " $y$ es función de $x$ "significa que $y$ cambios junto con $x$ ". Ese concepto no corresponde directamente a la definición propia de las funciones.

Como te habrás dado cuenta, cuando tienes una línea recta se puede describir mediante la función lineal $f$ donde $f(x) = mx+c$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$ con $m,c$ como unos valores fijos. Observe que aquí todo es fijo. $f$ es un objeto fijo e inmutable llamado función. " $f(x)$ "es una notación para denotar la salida cuando $x$ se da como entrada a $f$ .

Para utilizar su otro ejemplo, si $f$ es una función tal que $f(t) = t^2$ para cualquier $t \in \mathbb{R}$ entonces $f(0) = 0^2 = 0$ y $f(2) = 2^2 = 4$ etc. Esto demuestra que si das una entrada diferente a una función, puedes obtener una salida diferente. Pero la función en sí no ha cambiado. Siempre hace lo mismo. Si le das la misma entrada muchas veces seguidas, te va a dar la misma salida cada vez. Tampoco cambia la entrada. Puedes darle diferentes entradas, pero no puedes darle una entrada que "cambie".

Observe también que la variable utilizada como entrada en la definición de una función no es importante y se denomina variable ficticia. En el ejemplo anterior podríamos haber definido $f$ sea tal que $f(u) = u^2$ y no habría ninguna diferencia.

Así que " $y = f(x)$ " y " $y = x^2$ " son en realidad notaciones engañosas porque se utiliza para denotar $y$ cambiando cuando $x$ se cambia. Yo no lo utilizaría en la medida de lo posible. Si realmente necesita escribir algo como " $y = x^2$ ", debes entenderlo de la siguiente manera: Cuando $x = 3$ , $y = 9$ . En $x = -2$ , $y = 4$ . Ten en cuenta que esta notación se utiliza a menudo en el contexto del trazado de gráficas, pero recuerda que se trata de ecuaciones que describen los puntos de la gráfica, y que las ecuaciones no son lo mismo que las funciones.

Además, algunos gráficos (y sus ecuaciones asociadas) ni siquiera corresponden a una función, como " $x^2+y^2 = 1$ ". Lo que podemos decir es que esta ecuación describe el conjunto de puntos del plano cartesiano que forman el círculo unitario, pero no corresponde a una función que produzca $y$ dado $x$ porque, por ejemplo, hay dos soluciones cuando $x = 0$ a saber $y = 1$ o $y = -1$ . Una función no puede producir dos salidas.

Para poner un ejemplo concreto, digamos que nos dicen que la posición de una pelota sobre la superficie terrestre es $at-\frac{1}{2}gt^2$ a la vez $t$ que puede representarse mediante la función $f$ tal que $f(t) = at-\frac{1}{2}gt^2$ y podemos decir que la posición de la pelota es $f(t)$ a la vez $t$ . También podemos representar la trayectoria de la pelota a lo largo del tiempo trazando los puntos $(t,f(t))$ para distintos valores de $t$ . No es correcto decir que $f$ es la posición en el momento $t$ porque $f$ es sólo una función y no un valor, y recuerda que " $t$ "en la definición de $f$ es una variable ficticia y, por tanto, carece de sentido fuera de la definición. En su lugar, o bien se dice que $f(t)$ es la posición en el momento $t$ o dices que $f$ es la función que asigna un tiempo determinado a la posición de la bola en ese momento.

Para un ejemplo de una función con múltiples entradas, considere una función $d$ tal que $d(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ para cualquier $x,y \in \mathbb{R}$ . $d(x,y)$ es de hecho la distancia euclidiana de un punto $(x,y)$ desde el origen. Obsérvese que es válido tomar la raíz cuadrada ya que $x^2+y^2 \ge 0$ para cualquier $x,y \in \mathbb{R}$ . En general, siempre que definimos una función debemos pensar si la definición es válida, lo que significa que debe dar una salida bien definida para cualquier combinación válida de entradas.

Otro ejemplo $\max$ tal que $\max(x,y) = \cases{ x & if $ x \ge y $ \\ y & if $ x < y $ }$ . La notación utilizada aquí es una forma de definir diferentes valores en diferentes casos. En este ejemplo $\max(x,y) = x$ si $x \ge y$ y $\max(x,y) = y$ si $x < y$ . Tenga en cuenta que el orden de las entradas es importante.

En general, muchas cosas en matemáticas pueden considerarse funciones. $x+y$ puede considerarse como $\text{sum}(x,y)$ donde $\text{sum}$ es una función de 2 entradas. $x<y$ puede considerarse como $\text{lessthan}(x,y)$ donde $\text{lessthan}$ es una función de 2 entradas que produce un booleano ( $true$ o $false$ ). Cuando la salida de una función es siempre booleana, la función puede llamarse predicado, que desempeña un papel importante en lógica.

Por último, no he hablado de la teoría de conjuntos porque no es la única forma de definir una función y, en mi opinión, no es la más intuitiva. Lo que he dicho antes es válido tanto si las funciones se definen en términos de conjuntos como si no.

Answer 2

Voy a adoptar un enfoque un poco diferente del que se suele encontrar en los libros de texto, y en lugar de darte explicaciones y ejemplos matemáticos, intentaré explicarlo en términos de la semántica y el uso de las funciones. Me parece que es aquí donde está la confusión (no sólo para ti, sino también para la mayoría de la gente).

En primer lugar, las definiciones que otros han publicado aquí y que probablemente puedas encontrar en tu libro de texto son correctas. Te lo explicaré en términos sencillos:

Una función es una relación entre un conjunto de entradas y salidas, en la que cada entrada produce sólo una salida.

Se trata de una definición bastante amplia, que probablemente no resulte demasiado útil, y que probablemente tampoco sirva para explicar toda la $y = x$ y $f(x) = x^2$ cosas que estás viendo.

Pensemos primero un poco en esta definición. Estamos hablando de un idea abstracta - estamos hablando del concepto de "cosa" que recibe información y devuelve otra información. Lo que hace especial a una función es el requisito de que sea predecible: una entrada no puede dar dos o más salidas distintas.

No es una idea demasiado difícil de entender: ya conoces muchas cosas que lo hacen. Por ejemplo, 2 + 2 = ? Sabes que la respuesta es cuatro: miras el símbolo +, luego miras las entradas: 2 y 2, y sabes que se supone que añada juntos. Aquí el símbolo + es un operador que representa la suma función . Se trata de un lenguaje utilizado para representar el concepto abstracto de suma, y lo utilizamos para poder comunicar de forma concisa la idea de sumar dos números para obtener una suma.

Creo que aquí es donde te quedas atascado. Usted sabe que si usted tiene algo como:

$$ y = mx + b $$

que puedes "introducir números" para m, x y b, y luego seguir el orden de las operaciones para obtener una respuesta para y = ?

También ha dicho que podemos escribir $f(x) = mx + b$ lo cual es cierto. ¿Por qué no lo hacemos? La respuesta es: es sólo semántica. En concepto de tomar algunos números, introducirlos en una expresión y evaluarlos para obtener una única respuesta. es la función. $y = mx + b$ es un representación de la función: es una notación cómoda y concisa. Lo mismo ocurre con $f(x) = mx + b$ .

Entonces, ¿por qué tenemos ambas notaciones y para qué sirven? Bueno, para lo que estamos acostumbrados: $y = mx + b$ es bueno cuando y representa alguna cantidad, medida u otra cosa que entiendes bastante bien. Por ejemplo, se trata de una ecuación lineal, y como normalmente trazamos rectas sobre ejes cartesianos y las etiquetamos x e y, en este caso y representaría la coordenada y de los puntos de la recta. Normalmente graficamos las variables independientes en el eje x, así que $x$ suele ser nuestra entrada. $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección y, y éstas no cambian para una relación lineal dada, por lo que las llamamos parámetros - definen la función lineal. Como estamos acostumbrados a verla escrita así en este contexto, no hay mucha confusión sobre lo que son las entradas y las salidas -. $x$ suele ser la entrada, $y$ suele ser la salida. La notación coincide con el uso común, y es cómoda y sencilla, así que la utilizamos.

La nueva notación -la que confunde, con el $f(x)$ [y más tarde el $g(x)$ y $h(x)$ y realmente anything(anything_else)] sirve a un propósito ligeramente diferente. En $f(x)$ le indica explícitamente cuáles son las entradas. Si digo $f(x) = mx + b$ te estoy diciendo directamente que x es una entrada. Una vez que "introduzco" un valor para $x$ entonces lo que el lado derecho termina evaluando a es la salida.

Entonces, ¿por qué querríamos usar esto? Para una ecuación lineal, probablemente no, al menos no en la mayoría de los casos. Sin embargo, al aprender estas cosas, a menudo empezamos con eso para que puedas ver cómo funciona todo. Hay dos grandes ventajas $f(x)$ sin embargo:

1. Puede comunicar exactamente cuáles son las variables de entrada previstas
2. Puedes escribir una expresión para una función incluso cuando no se sabe cuál es la relación exacta

El nº 2 es muy importante. Esta es la razón por la que necesitas aprender esta notación a este nivel - porque pronto vas a empezar a trabajar con funciones en un sentido aún más abstracto - harás cosas como esta:

"Tengo esta gran ecuación con $y$ que aún no puedo resolver. Sé que y es una función de x y t, pero aún no sé cuál es esa relación. Así que dejaré que $y = f(x,t)$ y luego utilizarlo como marcador de posición mientras hago un montón de cosas como tomar derivadas e integrar para resolver el problema principal".

En otras palabras, nos permite escribir lo que do saber cuando no lo sabemos todo, lo que ocurre muy a menudo.

Ahora probablemente ya tienes las respuestas a tus tres preguntas tras leer eso, pero por si acaso no estaba claro:

y=f(x)→ Esta es una de las principales razones por las que tengo dificultades para entender las funciones.... Qué me dice la declaración anterior, y si y es una función ¿por qué usamos y= en absoluto para una fórmula como y=mx+b sería lo mismo que escribir f(x)=mx+b?

Sería lo mismo: utilizamos $y$ cuando no necesitamos tener muy claro qué variable(s) son entradas.

Algo como y=x2 es aparentemente una función...... pero ¿dónde está el nombre de la función? ¿Cuál es la entrada y cuál es la salida?

Esta función aún no tiene nombre, aunque podrías decir "la función y es igual a x al cuadrado". Más probablemente dirías "y es una función de x". La función resulta ser $f(x) = x^2$

Por último otro ejemplo : Supongamos f= distancia f(t)=t2 f(2)=4→ ¿Significa esto que la distancia es 4.. que es la entrada que es la salida?

Sí, si la distancia $d$ es función de t, y $d = f(t) = t^2$ entonces cuando $t = 2$ , $d = 4$ . La entrada es 2, que se "enchufa" a la variable $t$ y la salida es 4 - la respuesta que se obtiene después de evaluar la expresión.

Answer 3

Creo que es importante señalar que existen dos conceptos diferentes, pero estrechamente relacionados, denominados "función". Para evitar confusiones, utilizaré el término "mapa" para uno de ellos y "variable dependiente" (a falta de una palabra mejor) para el otro.

A mapa es lo que se describe en la respuesta de Clive. Es algo, una caja negra si se quiere, que toma valores de un conjunto como entradas y devuelve valores de un conjunto -potencialmente distinto- como salidas. Lo importante es que existe una salida para cada elemento de entrada y que hay sólo uno . Además, la salida debe ser la misma siempre que la entrada sea la misma.

A veces, no se sabe nada del mapa, pero otras veces, el mapa se da explícitamente, como en por ejemplo $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \\ x \mapsto x^2 + 1,$$ o, lo que es lo mismo, $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \\ f(x) = x^2 + 1.$$ En este caso, el nombre de la variable $x$ es irrelevante en principio. Sólo es necesario para que podamos hablar del elemento de entrada. La misma función se definiría por ejemplo $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \\ t \mapsto t^2 + 1.$$ (Pero en la práctica no es así, véase más abajo).

Encontrar la salida para una entrada dada es fácil en este caso: Basta con sustituir cada aparición de la variable a la izquierda de $\mapsto$ por la entrada (añadiendo paréntesis si es necesario). En nuestro ejemplo: $$f(5+3) = (5+3)^2 + 1 = 64 + 1 = 65.$$

En general, escribimos $f(x)$ para el valor de salida de la función $f$ para el valor de entrada $x$ . En resumen, el valor de $f$ en $x$ o $f$ de $x$ .

Este concepto es útil porque nos permite hablar no sólo de valores, sino de las propias funciones. Son objetos y, por tanto, se pueden dar como entradas o salidas a otras funciones, por ejemplo. Además, en mi opinión, es más fácil de definir y manipular formalmente.

Muy relacionado está lo que llamaré variable dependiente . Se trata de una variable cuyo valor depende del valor de otra variable y que cambia a medida que cambia la otra variable (nótese que antes no necesitábamos el concepto de "variables cambiantes").

Por ejemplo, $$y = x^2 + 1.$$ En este caso, el nombre de la variable $x$ sí importa. $$y = t^2 + 1$$ sería algo diferente. En el primer caso, $y$ cambia a medida que $x$ cambios, en el segundo caso, $y$ cambia a medida que $t$ cambios.

Si desea conocer el valor de $y$ cuando $x = 5 + 3$ reemplazar $x$ por $5 + 3$ en la parte derecha de la primera definición. No tiene mucho sentido preguntar por el valor de la segunda $y$ cuando $x = 5 + 3$ a menos que haya más relaciones entre $x$ y $t$ no se da aquí.

Para indicar el valor de $y$ como $x$ toma algún valor, a veces se utiliza $y(x)$ por ejemplo $y(5+3)$ dejando implícito que $x$ debe sustituirse. Utilizaré $y|_{x=5+3}$ en su lugar.

La primera ventaja de este concepto es que es más corto. Observe que no necesitamos repetir el nombre de la variable que utilizamos para definir $y$ como hicimos con $f$ . Además, las funciones de las aplicaciones suelen tener varias entradas. Tenerlas fijas ayuda a recordar su propósito. Esta es una de las razones por las que los físicos suelen preferir este concepto. Además, creo que este concepto es más antiguo (pero no me cites).

Afirmé que estos conceptos están estrechamente relacionados y he aquí por qué:

Si $y$ es una variable que depende de $x$ entonces existe alguna función $f$ tal que $$y = f(x).$$ Y siempre que $f$ es una función, podemos definir $$y = f(x)$$ y luego $y$ es una variable dependiente (según $x$ ). Por ello $y$ se denomina función de $x$ .

Como ambos conceptos son útiles, en la práctica se prefiere mezclarlos y llamar a ambos función que no encuentro útil. Ya hemos visto la notación mixta $y(x)$ . Algo similar ocurre, por ejemplo, con los derivados, donde $\frac{\operatorname{d} f}{\operatorname{d} x}$ no tiene realmente sentido (porque la función sería la misma si utilizáramos la variable $t$ en su definición) y $y’$ no tiene realmente sentido (porque no está claro qué dependencia de $y$ ). Aún así, estas dos notaciones son comunes, además de las versiones sensatas $f’$ y $\frac{\operatorname{d} y}{\operatorname{d} x}$ .

Tendrá que aprender a alternar entre ambos conceptos.

Answer 4

A grandes rasgos, una función es una regla que produce un valor de salida a partir de un valor de entrada dado. Puedes pensar en ella como si fuera una máquina: le das una entrada, realiza un proceso con ella y produce una salida.

En principio, las entradas y salidas pueden ser cualquier cosa. Pero, para que las cosas queden más claras, vamos a centrarnos por ahora en el caso de que las entradas y salidas sean números.

Un ejemplo de regla que define una función es: tomar la entrada, elevarla al cuadrado y dividirla por dos. Al introducir el número $3$ en esta función, te devuelve la salida $9/2$ . Cuando la entrada es $1$ el resultado es $1/2$ etc. En símbolos, si la entrada es $x$ el resultado es $x^2/2$ . Así, podríamos escribir esta función como $x \mapsto x^2/2$ en cuyo caso nos referiríamos a ella como "la función que mapea $x$ a $x^2/2$ ". A veces esto se abrevia, y la gente dice simplemente "la función $x^2/2$ ". No hay nada mágico en el nombre de la variable " $x$ "podríamos escribir $w \mapsto w^2/2$ en su lugar, y esto seguiría denotando la misma función - sigue siendo una máquina que eleva al cuadrado y luego reduce a la mitad su entrada.

Muy a menudo, es conveniente dar un nombre a una función. La función que hemos descrito antes podría llamarse función "cuadrado y curva", pero estaría bien algo más corto. Podríamos optar por darle a nuestra función cuadrado y curva el nombre " $f$ ". La regla que define esta función podría entonces escribirse como $f(x) = x^2/2$ . Esto es sólo una forma abreviada de decir "dada la entrada $x$ la función $f$ produce $x^2/2$ como salida". De nuevo, no tenemos que utilizar el símbolo " $x$ "para indicar la entrada; escribiendo $f(t)=t^2/2$ seguiría definiendo la misma función de cuadrado y curva.

Como hemos señalado anteriormente, la función cuadrado y curva produce la salida $9/2$ cuando su entrada es $3$ . Lo denotamos escribiendo $f(3) = 9/2$ . Se podría leer como "la función $f$ cuando se aplica a la entrada $3$ da como resultado $9/2$ ".

Answer 5

El término función no siempre ha significado lo que significa ahora. Originalmente era una fórmula que expresaba una variable en términos de otra. Ni siquiera era necesario que el valor de la otra variable estuviera determinado unívocamente por la primera.

En el siglo XVII, Newton, en su Principia Mathematica asumía implícitamente que todas las funciones eran diferenciables, y eso era más o menos correcto en su época bajo ese significado de función en ese momento.

En el siglo XVIII, Euler y otros descubrieron otras expresiones para las funciones, en particular, las series trigonométricas (es decir, las series de Fourier). Éstas no siempre definían funciones continuas o diferenciables. En consecuencia, el concepto de función se amplió.

En el siglo XIX, el concepto cambió en un par de aspectos. Las funciones debían tener un valor único, es decir, el valor de la variable dependiente debía estar determinado de forma única por el valor de la variable independiente. Las funciones que no tenían esa propiedad se denominaban funciones multivaluadas término que aún se utiliza. También se habían hecho comunes las funciones que no tenían valores reales y argumentos reales, sino otros tipos de valores y argumentos.

En el siglo XX, se había desarrollado la teoría de conjuntos, y una función $f$ podría identificarse con su gráfico $y=f(x)$ un determinado subconjunto del conjunto de productos $D\times E$ donde $D$ era el dominio de $f$ y $E$ el codominio de $f$ . (Los términos gama y imagen se utilizaban a veces para codominio, pero ahora suelen significar otra cosa).

Así, una definición actual de función $f$ de un conjunto $D$ a otro conjunto $E$ , escrito $f:D\to E$ es un subconjunto $f\subseteq D\times E$ tal que para todo $x\in D$ existe un único $y\in E$ para que $(x,y)\in f$ . Esa última condición, $(x,y)\in f$ se suele escribir $y=f(x)$ .

Incluso ahora, aunque tengamos un concepto diferente de las funciones, éstas se siguen definiendo a menudo como siempre, mediante fórmulas.