$A\subset \mathbb{R}$ con más de un elemento y $A/ \{a\}$ es compacto para un $a\in A$

Question

La pregunta es :

Supongamos que $A\subset \mathbb{R}$ con más de un elemento y $A/ \{a\}$ es compacto para un $a\in A$ entonces

• $A$ es compacto
• Cada subconjunto de $A$ debe ser compacto
• $A$ debe ser finito
• $A$ está desconectado

Sólo los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ Se me ocurren la unión finita de intervalos cerrados y los conjuntos finitos.

Tome una unión finita de intervalos cerrados, Si quito un elemento para que yo terminaría con algo que contiene $[a,b)$ y esto no sería compacto por lo que debería ser todo el conjunto.

Por lo tanto, la primera opción es incorrecta es decir, $A$ no es compacto.

No puedo decir nada acerca de la segunda y cuarta opción, pero la tercera opción es posible, supongo.

Por favor, ayúdame a ver esto en detalle ..

Answer 1

1. Sea $\{U_i\}_{i\in I}$ sea una cubierta abierta para $A$ . También es una tapa abierta para $A\setminus\{a\}$ . Como es compacto, existe una subcubierta finita. Junto con una $U_i$ con $a\in U_i$ obtenemos una subcubierta finita para $A$ . Por lo tanto, sí, $A$ es compacto.

2. No. Considera $A=[0,1]\cup\{2\}$ que tiene el subconjunto no compacto $(0,1)$ .

3. No. Considera $A=[0,1]\cup\{2\}$ de nuevo, que es infinita.

4. Sí. Considere la cubierta abierta $$A\setminus\{a\}\subseteq\bigcup_{r>0}(\mathbb R\setminus[a-r,a+r]).$$ Por compacidad existe una subcubierta finita, que se reduce a $A\setminus\{a\}\subseteq \mathbb R\setminus[a-r,a+r]$ para algunos $r>0$ . Así $a$ es un punto aislado de $A$ y $A$ está desconectado.

Answer 2

Pistas:

El conjunto $\;[0,1]\cup\{2\}\;$ ya se ocupa de las opciones 2,3,4...

La opción 1 es cierta, de lo contrario existe $\;\{a_n\}\subset A\;$ siempre que ninguna de sus sucesiones converja en $\;A\;$ Así que...