¿Cuándo es continuamente diferenciable la variación cuadrática de un proceso?

Question

Cuándo es la variación cuadrática de un proceso continuo cuadrático integrable continuamente diferenciable para casi todas las $\omega$ ?

Para el movimiento browniano esto es obviamente cierto. También es cierto para una martingala continua cuadrada integrable con incrementos estacionarios independientes. ¿Pero podemos decir esto para cualquier martingala cuadrada integrable? Agradeceríamos cualquier sugerencia para responder a esta pregunta.

Answer 1

Esto es sólo una respuesta parcial, pero sabemos que una condición necesaria para la diferenciabilidad es la continuidad. Por lo tanto, para que la variación cuadrática de un proceso (*) sea diferenciable, la variación cuadrática debe ser continua. En esta respuesta, esbozaré algunas condiciones para la continuidad de la variación cuadrática.

Consideremos la semimartingale $X$ y denotemos su variación cuadrática opcional como $[X]$ . Si $X$ es una martingala local, denotemos su proceso de variación cuadrática predecible como $\langle X \rangle$ .

Consideremos primero el caso en que $X$ es una martingala local, con $\langle X \rangle$ su previsible variación cuadrática. Necesitaremos la siguiente definición, en la que utilizamos la notación $X_{t-} = \lim_{s\uparrow t} X_s$ .

Definición. Un proceso $Y$ es regular si, para cada tiempo de parada previsible $T$ tenemos que $$ E[Y_{T-}] = E[Y_T]. $$

Recordando nuestra martingala local $X$ tendremos entonces que $\langle X \rangle$ es continua si y sólo si $X^2$ es regular. Una condición suficiente para $X^2$ ser regular es para $X$ sea continua.

Supongamos ahora que $X$ es un semimartingale general. Sabemos que su variación cuadrática opcional puede escribirse como $$ [X]_t = \langle X^c \rangle_t + \sum_{0<s\le t} \left( \Delta X_s \right)^2, $$ donde $X^c$ es la parte martingala continua (local) de $X$ y $\Delta X_s = X_s - X_{s-}$ . A partir de la discusión anterior, sabemos que $\langle X^c \rangle$ es continua. A partir de la expresión que da la variación cuadrática opcional anterior, $[X]$ tiene saltos siempre que $X$ tiene saltos, de modo que $[X]$ es continua si y sólo si $X$ es continua.

Por lo tanto, una martingala general cuadrada-integrable no necesita tener un proceso de variación cuadrática diferenciable. En particular, si la martingala no es continua, entonces no puede tener una variación cuadrática opcional diferenciable. Si tiene tiempos de salto predecibles, entonces tampoco tendrá una variación cuadrática predecible diferenciable.

Referencia: Cohen, S. N., y Elliott, R. J. (2015). Cálculo estocástico y aplicaciones (Vol. 2). Nueva York: Birkhäuser.

(*) En esta respuesta, asumo que los procesos son semimartingales para garantizar que la variación cuadrática está bien definida. También asumo una filtración que satisface las condiciones habituales y considero que las martingalas son sus versiones càdlàg.