Si $X,Y$ son campos vectoriales (locales) en una variedad riemanniana $(M,g)$ . ¿Existe algún límite, fórmula, estimación,... para la longitud del corchete de Lie, es decir, $g([X,Y],[X,Y])$ ?
Por ejemplo $n$ -esfera dimensional $\mathbb{S}^n$ y un marco local ortonormal $\{e_i\}$ es decir, $g(e_i,e_j)=\delta_j^i $ . ¿Qué podemos decir sobre $\|[e_i,e_j]\|^2$ ?
¿Es posible encontrar un marco ortonormal tal que $\|[e_i,e_j]\|^2=1$ para cada $i,j$ ?
En general, tal límite no puede existir. Esto se puede ver "dando la vuelta" al problema: como se indica en el comentario de @Andrew_Hwang, el corchete de Lie es independiente de la métrica. En $\mathbb R^n$ para $n\geq 3$ se pueden encontrar fácilmente campos vectoriales locales $X$ y $Y$ tal que $X(x)$ , $Y(x)$ y $[X,Y](x)$ son linealmente independientes para cada $x$ . Esto significa que se puede prescribir una métrica riemanniana de tal manera que $X$ y $Y$ tienen norma constante $1$ mientras que la norma de $[X,Y]$ viene dada por cualquier función suave positiva. Esto puede entonces transferirse localmente a cualquier colector de dimensión $\geq 3$ .
La cuestión de si se pueden organizar los cuadros de tal manera que se obtengan límites en el soporte de Lie parece ser de naturaleza diferente. En cierto modo, el corchete de Lie mide lo lejos que está tu marco ortonormal de un marco de coordenadas, así que esto se mide por la curvatura. Esto debería permitir obtener una condición razonable.
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