¿Hay alguna solución inteligente al "problema del comerciante" de Arnold?

Question

Hay un problema que aparece en una entrevista $^\color{red}{\star}$ con Vladimir Arnol'd .

Coges una cucharada de vino de un barril de vino y la pones en tu taza de té. A continuación, devuelves una cucharada de la mezcla (¡no uniforme!) de té de tu taza al barril. Ahora tienes una sustancia extraña (vino) en la taza y una sustancia extraña (té) en el barril. ¿Cuál es mayor: la cantidad de vino en la taza o la cantidad de té en el barril al final de tus manipulaciones?

Este problema también se cita aquí .

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Esta es mi solución:

La clave está en considerar las proporciones de vino y té en la segunda cucharada (es decir, la cucharada de la mezcla no uniforme que se transporta de la copa al barril). Sea $s$ el volumen de una cucharada y $c$ sea el volumen de una taza. La cantidad de vino en esta segunda cucharada es $\frac{s}{s+c}\cdot s$ y la cantidad de té en esta cucharada es $\frac{c}{s+c}\cdot s$ . Entonces la cantidad de vino que queda en la copa es $$s-\frac{s^2}{s+c}=\frac{sc}{s+c}$$ y la cantidad de té en el barril ahora es también $\frac{cs}{s+c}.$ Por tanto, las cantidades que se nos pide que comparemos son las mismas.

Sin embargo, Arnol'd también dice

A los niños de cinco a seis años les gustan mucho y son capaces de resolverlos, pero pueden resultar demasiado difíciles para los universitarios, mimados por la formación matemática reglada.

Dada la sencillez de la solución, voy a suponer que tiene truco. ¿Cómo resolvería este problema un niño de seis años? Mi educación universitaria está interfiriendo con mi pensamiento.

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$\color{red}{\star}\quad$ S. H. Lui, Entrevista con Vladimir Arnold Notices of the AMS, abril de 1997.

Answer 1

1. En primer lugar tenemos un $B_{wine}$ y un $C_{tea}$ y un $S$ poon
2. Ahora tenemos $B_{wine}-S_{wine}$ y $C_{tea}+S_{wine}$
3. Entonces tenemos $B_{wine}-S_{wine}+(\frac{k}{100}S_{wine}+\frac{100-k}{100}S_{tea})$ y $ C_{tea}+S_{wine}-(\frac{k}{100}S_{wine}+\frac{100-k}{100}S_{tea})$

Lo que demuestra que en taza de té tenemos $\frac{100-k}{100}S_{wine}$ y en barril de vino tenemos $\frac{100-k}{100}S_{tea}$ . Por supuesto $S_{tea}=S_{wine}$ . ¡(Ambos son una cuchara)!

Answer 2

Imagínese el té en el vino en forma de una bolita dentro del vino. Entonces esa bola debe ser exactamente la cantidad de vino que falta en el vino. Ergo, es la cantidad de vino que hay en el té. Por lo tanto, las dos cantidades son iguales, con exactamente tanto té en el vino como vino en el té.

Answer 3

Huh. Debo de tener 5 o 6 años, ya que pensé que esto era completamente trivial. Sin embargo, me he dado cuenta de que tiendo a razonar visualmente mucho más a menudo que algebraicamente.

Antes:

Después:

Quiero decir tiene ¡ser! No importa si es una cucharada, o una pizca, o si has movido las cosas de un lado a otro 3 o 4 veces, o lo que sea... al final, cualquier cantidad de vino que se sustituya por té debe haber acabado en la taza.

Answer 4

Yo lo veo intuitivamente como un diagrama de Venn. Dos esferas representan la cantidad arbitraria desplazada, I. En este caso una cantidad de cuchara de té. Así que cuando se superponen, usted pregunta qué área es mayor de las dos esferas que no se superponen. Pero ves que cualquier área tomada de una debe ser tomada de la otra y el área es la misma.

Answer 5

Ayuda a discretizar el problema. Por ejemplo, canicas rojas y azules. Supongamos que hay $M$ canicas rojas en un recipiente $1$ y $N$ canicas azules en recipiente $2$ . Podemos suponer $M>>N$ pero es innecesario. Así que empezamos con $$ \begin{array}{c|c|c} & \text{Container }1 & \text{Container }2 \\ \hline \text{Red} &M &0 \\ \text{Blue} &0 &N \end{array} $$

Elige $a\leqslant M$ canicas rojas y échalas con las canicas azules. Así, $$ \begin{array}{c|c|c} & \text{Container }1 & \text{Container }2 \\ \hline \text{Red} &M-a &a \\ \text{Blue} &0 &N \end{array} $$ Por último, elija $a$ canicas del contenedor $2$ y echarlas en un recipiente $1$ . Supongamos que $x\leqslant a$ de ellos son azules, así que $$ \begin{array}{c|c|c} & \text{Container }1 & \text{Container }2 \\ \hline \text{Red} &M-a+(a-x) = M-x &a-(a-x)=x \\ \text{Blue} &x &N-x \end{array} $$ Incluso la discretización es innecesaria, pero hay algunos debates filosóficos que seguramente tendrán lugar debido a cierta intuición sobre los líquidos.