¿Hay alguna solución inteligente al "problema del comerciante" de Arnold?

Question

Hay un problema que aparece en una entrevista $^\color{red}{\star}$ con Vladimir Arnol'd .

Coges una cucharada de vino de un barril de vino y la pones en tu taza de té. A continuación, devuelves una cucharada de la mezcla (¡no uniforme!) de té de tu taza al barril. Ahora tienes una sustancia extraña (vino) en la taza y una sustancia extraña (té) en el barril. ¿Cuál es mayor: la cantidad de vino en la taza o la cantidad de té en el barril al final de tus manipulaciones?

Este problema también se cita aquí .

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Esta es mi solución:

La clave está en considerar las proporciones de vino y té en la segunda cucharada (es decir, la cucharada de la mezcla no uniforme que se transporta de la copa al barril). Sea $s$ el volumen de una cucharada y $c$ sea el volumen de una taza. La cantidad de vino en esta segunda cucharada es $\frac{s}{s+c}\cdot s$ y la cantidad de té en esta cucharada es $\frac{c}{s+c}\cdot s$ . Entonces la cantidad de vino que queda en la copa es $$s-\frac{s^2}{s+c}=\frac{sc}{s+c}$$ y la cantidad de té en el barril ahora es también $\frac{cs}{s+c}.$ Por tanto, las cantidades que se nos pide que comparemos son las mismas.

Sin embargo, Arnol'd también dice

A los niños de cinco a seis años les gustan mucho y son capaces de resolverlos, pero pueden resultar demasiado difíciles para los universitarios, mimados por la formación matemática reglada.

Dada la sencillez de la solución, voy a suponer que tiene truco. ¿Cómo resolvería este problema un niño de seis años? Mi educación universitaria está interfiriendo con mi pensamiento.

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$\color{red}{\star}\quad$ S. H. Lui, Entrevista con Vladimir Arnold Notices of the AMS, abril de 1997.

Answer 1

Al final, la taza de té está tan llena como al principio. Esto implica que el vino añadido es exactamente superado por el té que ha desaparecido.

Answer 2

El volumen de la cuchara, $s$ es la cantidad conservada. También es la cantidad de vino que hay en la copa.
Cuando a continuación, tomar un poco de mezcla $\mathit{tea}+\mathit{wine} = s$ en la cuchara,
$s-\mathit{wine}$ es la cantidad de vino que queda en la copa y la cantidad de té vertida en el barril de vino.

Answer 3

En una primera aproximación, hay una cucharada de vino en la taza y una cucharada de té en el barril. ¿Cuánto falta en cada una de estas aproximaciones? Bueno, hay un poco menos de una cucharada de vino en la copa, ya que se eliminó un poco de vino en el segundo paso. Y hay un poco menos de una cucharada de té en el barril, ya que había un poco de vino mezclado con la cucharada que se puso en él. Pero estos errores son exactamente iguales: ambos son la cantidad de vino que había en la segunda cucharada. Así que las dos cantidades son iguales: ambas son una cucharada menos la cantidad de vino que había en la segunda cucharada.

O, aquí hay una manera aún más astuta. Observa que los volúmenes totales de líquido de la taza y el barril no han cambiado, ya que las dos cucharadas que intercambiaron se anularon. Por lo tanto, el cambio global debe ser que el barril intercambió cierto volumen de vino por el mismo volumen de té de la taza.

Observa que tu solución es en realidad errónea--cuando calculas las cantidades de vino y té en la segunda cucharada, estás asumiendo que la taza se mezcló uniformemente después de la primera cucharada, cosa que el problema te dice que no asumas (de eso se trata el "(¡no uniforme!)").

Answer 4

Después del paso 1, siempre hay una cucharada de vino en la taza.

Si, en el paso dos:

Vuelves a poner una cucharada de vino en tu barril, entonces hay 0 té en tu vino y 0 vino en tu barril.

Vuelves a poner una cucharada de té en tu barril, entonces hay 1 té en tu vino y 1 té en tu barril.

Pones media cucharada de té y media de vino en tu barril, entonces hay 0,5 de té en tu vino y 0,5 de vino en tu té.

Parece que la cantidad (no la proporción) de té en el vino y de vino en el té sigue siendo la misma.

Answer 5

Argumento por simetría

Una forma de enfocar el problema es reconocer la importancia del hecho de que se espera que encuentres una solución bajo el supuesto de que la mezcla de té y vino en la taza de té es no uniforme . En otras palabras, es imposible saber si estás transfiriendo una cucharada de té al barril, una cucharada de vino o una mezcla de ambos. Lo que esto implica es que los tamaños relativos de la taza de té y el barril de vino, así como la proporción de vino que sacas de la taza de té, son completamente irrelevante .

Con este conocimiento, podemos ver que deberíamos obtener la misma respuesta tanto si echamos una cucharada de vino en la taza de té y luego volvemos, como si echamos una cucharada de té en el barril de vino y luego volvemos. Sin saber (ni necesitar saber) nada sobre los tamaños relativos de los recipientes, podemos simplemente llenar el barril con té y la taza con vino para hacer el experimento "inverso". La transferencia del vino al té no será diferente si tenemos un barril de vino del tamaño de una taza de té y una taza de té del tamaño de un barril. no es la situación descrita.

Por simetría, la única conclusión lógica es que hay exactamente tanto té en el barril de vino como vino en la taza de té, independientemente de si la taza de té o el barril están llenos de té o de vino. De lo contrario, llegaríamos a resultados contradictorios al realizar ambos experimentos: no podemos encontrar más té en el barril de vino si vamos por un lado y más vino en la taza de té si vamos por el otro, lo que resulta especialmente obvio si, para empezar, simplemente cambiamos los recipientes en los que están los líquidos.