Demostrar que un grupo de orden 85 tiene un elemento de orden 5 (sin Cauchy o Sylow)

Question

En primer lugar: No puedo utilizar Cauchy o Sylow ya que no hemos cubierto estos en el curso todavía.

Así que he conseguido completarlo a medias de la siguiente manera:

Supongamos que $x \in G.$ Entonces, por el Teorema de Lagrange, $|x|$ divide $85 \implies |x|$ es uno de $1,5,17,85$

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $|x| \neq 1 \iff x = e$ como $|G| \geq 2$ .

Supongamos que $|x| = 5$ entonces hemos terminado.

Supongamos que $|x|=85$ lo que implica $|x^{17}| = 5$ como $(x^{17})^5 = x^{85} = e$ . Entonces hemos terminado.

Pero me cuesta mucho trabajar con 17. Estoy pensando que voy a tener que hacer una prueba por contradicción, y estoy asumiendo el hecho de la $17$ es primo probablemente sea relevante, pero he revisado mis apuntes de clase y no encuentro nada de lo que nos han presentado relacionado con que el orden de un elemento sea primo. Agradecería enormemente cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $x \in G.$ Entonces, por el Teorema de Lagrange, $|x|$ divide $85 \implies |x|$ es uno de $1,5,17,85$

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $|x| \neq 1 \iff x = e$ como $|G| \geq 2$ .

Supongamos que $|x| = 5$ entonces hemos terminado.

Supongamos que $|x|=85$ lo que implica $|x^{17}| = 5$ como $(x^{17})^5 = x^{85} = e$ . Entonces hemos terminado.

Sólo hay un elemento en $G$ con orden $1$ - el elemento de identidad.

Supongamos que no hay ningún elemento de orden $5$ en $G$ entonces el resto $84$ elementos de $G$ debe ser del orden 17. Así, cada elemento (distinto de la identidad) genera un subgrupo de orden 17. Para cada subgrupo distinto, habrá $16$ elementos distintos, ya que todos contienen necesariamente el elemento de identidad.

Por lo tanto, si hay $n$ subgrupos tan distintos habrá $16n + 1$ elementos en $G$ y

$85 = 16n + 1 \iff 84 = 16n$

Sin embargo, $16 \nmid 84$ y por tanto tenemos una contradicción del Teorema de Lagrange.

Por lo tanto, G debe tener un elemento de orden 5.