Parte fraccionaria de $n!e$

Question

Posible duplicado:
¿Cuál es el límite de $n \sin (2 \pi \cdot e \cdot n!)$ como $n$ ¿llega hasta el infinito?

Para resolver el siguiente límite $$\lim_{n\to\infty} n\sin2\pi n!e$$ . Es muy probable que se haya formulado esta pregunta.

Recuerdo esta pregunta y la respuesta es como $2\pi$ o algo así.

También recuerdo haber aproximado $n!e$ pero de alguna manera no recuerdo y no puedo averiguar en este momento .

Answer 1

Observe las series habituales de $e$ . Entonces $n!e$ es un número entero más $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots.\tag{$ 1 $}$$ La suma $(1)$ es mayor que $\frac{1}{n+1}$ . Es inferior a $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^3}+\cdots,$$ una serie geométrica con suma $\frac{1}{n}$ .

Answer 2

Recuerde que $\mathrm e=\sum\limits_{k=0}^n1/k!+R_n$ con $R_n=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}1/k!$ . Por lo tanto $n!\,\mathrm e$ es igual a un número entero más $n!R_n$ . Ahora $1/(n+1)!\lt R_n\lt1/(n\,n!)$ Por lo tanto $n!R_n=1/n+o(1/n)$ que es toda la precisión que necesitas.

Answer 3

$$\begin{align} n!e &=n!\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}+\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!/n!}\\ &\equiv\frac1{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\dots\pmod{\mathbb{Z}} \end{align}$$ donde la última suma es mayor que $\frac1{n+1}$ pero menos de $\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{(n+1)^2}+\frac1{(n+1)^3}+\dots$

Así, tenemos los límites $$\frac1{n+1}<n!e-\lfloor n!e\rfloor<\frac1n$$ Por lo tanto, $$n\sin\left(\frac{2\pi}{n+1}\right)<n\sin(2\pi n!e)<n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$ y por el Teorema del Apriete, obtenemos $$\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi n!e)=2\pi$$