¿Qué significa exactamente "Hamiltoniano invertido en el tiempo"?

Question

Para contextualizar, estoy leyendo este documento .

Básicamente, el documento hace referencia a la "evolución con respecto al Hamiltoniano invertido en el tiempo". No tengo muy claro qué significa esto. Esta es mi lógica:

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Sea $H$ sea un Hamiltoniano con estados propios $|E_n\rangle$ . Sea $H'$ sea el Hamiltoniano invertido en el tiempo, con estados propios $|E_n'\rangle$ donde $|E_n'\rangle \ = \ \Theta |E_n\rangle$ con $\Theta$ que es el operador de inversión temporal:

$$\Theta \ = \ i Y K$$

donde $K$ es el operador de conjugación compleja, y $Y$ es el Pauli-Y. De ello se deduce que $H'$ se puede escribir como:

$$H' \ = \ -\Theta H' \Theta$$

Dado que $|E_n'\rangle$ tendremos:

$$H' |E_n'\rangle \ = \ -\Theta H \Theta |E_n'\rangle \ = \ \Theta H |E_n\rangle \ = \ \Theta E_n |E_n\rangle \ = \ E_n |E_n'\rangle$$

Así que los estados invertidos en el tiempo son estados propios de este Hamiltoniano. Además, la energía no cambia bajo la inversión temporal, y como se puede ver, conservamos la misma energía $E_n$ para un estado propio dado bajo inversión temporal, con lo que hemos definido unívocamente el Hamiltoniano invertido en el tiempo.

A continuación, pasé a definir la evolución temporal bajo este Hamiltoniano:

$$e^{-i \gamma H'} \ = \ e^{i \gamma \Theta H \Theta} \ = \ \displaystyle\sum_{n \ = \ 0}^{\infty} \frac{(i \gamma \Theta H \Theta)^n}{n!}$$

Sabemos que $-\Theta^2 \ = \ \mathbb{I}$ ya que invertir dos veces un estado cuántico en el tiempo equivale a no hacer nada. Por lo tanto, todos los términos medios en la expansión del producto del numerador de cada término se cancelarán, y tendremos:

$$\displaystyle\sum_{n \ = \ 0}^{\infty} \frac{(i \gamma \Theta H \Theta)^n}{n!} \ = \ \displaystyle\sum_{n \ = \ 0}^{\infty} (-i Y K) \frac{(-i \gamma H )^n}{n!} (i Y K) \ = \ Y K \Big( \displaystyle\sum_{n \ = \ 0}^{\infty} \frac{(-i \gamma H )^n}{n!} \Big) Y K \ = \ Y K e^{-i \gamma H} Y K$$

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Esto claramente no tiene sentido: la evolución temporal debe ser unitaria y $K$ es antiunitario.

Dudo mucho que mi pensamiento sea correcto, ya que vi una charla de uno de los autores del artículo, y dijo que el hamiltoniano invertido en el tiempo es "normalmente" el mismo que el hamiltoniano original. ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta en estas notas de clase que voy a resumir por si alguien tiene la misma duda:

Comenzamos con la definición de inversión temporal, que dice que $\Theta |\Psi(t)\rangle \ = \ |\Psi(-t)\rangle$ . Tenemos:

$$|\Psi(t)\rangle \ = \ e^{-iHt/\hbar}|\Psi(0)\rangle$$

También tendremos:

$$\Theta |\Psi(-t)\rangle \ = \ |\Psi(t)\rangle \ = \ e^{-iHt/\hbar} |\Psi(0)\rangle \ = \ e^{-iHt/\hbar} \Theta |\Psi(0)\rangle$$

Si hacemos un cambio de variables $t \rightarrow -t$ en la primera ecuación, tenemos

$$|\Psi(-t)\rangle \ = \ e^{iHt/\hbar} |\Psi(0)\rangle$$

Sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos:

$$\Theta |\Psi(-t)\rangle \ = \ \Theta e^{iHt/\hbar} |\Psi(0)\rangle \ = \ e^{-iHt/\hbar} \Theta |\Psi(0)\rangle$$

Lo que nos deja con:

$$\Theta e^{iHt/\hbar} \ = \ e^{-iHt/\hbar} \Theta \ \Rightarrow \ e^{iHt/\hbar} \ = \ - \Theta e^{-iHt/\hbar} \Theta \ = \ Y K e^{-iHt/\hbar} Y K$$

Así, el operador con el que terminamos es de hecho unitario, dado por:

$$U \ = \ e^{iHt/\hbar}$$

Lo cual tiene sentido, ya que se trata del operador original de evolución temporal, pero con el signo cambiado, lo que significa evolución hacia atrás en el tiempo.