Demostrar que $~~~~~a_1!a_2!\cdots a_m! \mid \left(a_1+a_2+...+a_m\right)! ~~~~~~~~~\forall ~~~a_1,a_2,...,a_m\in N$

Question

Demuestre que $$a_1!a_2!\cdots a_m! \mid \left(a_1+a_2+...+a_m\right)! \forall a_1,a_2,...,a_m\in N$$

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Caso 1 $m=2$ . Tenemos que demostrar $$a_1!a_2!\mid (a_1+a_2)!$$

1. $a_1+a_2=1$ y $a_1+a_2=2$ . Es evidente

2. $a+b=n (n\in \text{N and } a+b\le n).$

Demostraremos en $$a+b=n+1$$

Asumiendo la inducción $$(a_1!(a_2-1)!)\mid(a_1+a_2-1)!$$

Y $$(a_2!(a_1-1)!)\mid(a_1+a_2-1)!$$

$$\rightarrow (a_1!a_2!)\mid (a_1+a_2)(a_1+a_2-1)!$$

O $$\rightarrow (a_1!a_2!)\mid (a_1+a_2)!$$

Caso 2 $m=k$

Demostraremos en $m=k+1$

Estoy atrapado aquí. ¿Puedo probarlo como con el caso $m = 2?$ Ayúdame.

Answer 1

Por el $m=2$ caso: $$ a_1!(a_2+\ldots+a_{n+1})!\,\vert\, (a_1+a_2+\ldots+a_{n+1})!, $$ y por la hipótesis inductiva para $m=n$ , $$ a_2!\ldots a_{n+1}!\vert (a_2+\ldots+a_{n+1})!. $$ La suma de todos ellos da como resultado $n+1$ caso.