Hallar el orden de magnitud de la solución de la ecuación

Question

Halla el orden de magnitud de la solución de la siguiente ecuación: $$ x(\ln x)^{2001}=n $$

Answer 1

Antes de calcular el orden de magnitud de la solución, podemos obtener una solución utilizando la función Función W de Lambert : $$ \begin{align} n &=x\log(x)^{2001}\\ &=\log(x)^{2001}\ e^{\log(x)}\\ n^{1/2001}/2001 &=\log(x)/2001\ e^{\log(x)/2001}\\ \mathrm{W}(n^{1/2001}/2001) &=\log(x)/2001 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ x=e^{2001\mathrm{W}(n^{1/2001}/2001)} $$

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Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{\log(x)} &=\lim_{n\to\infty}\frac{\log(x)+2001\log(\log(x))}{\log(x)}\\ &=1+2001\lim_{x\to\infty}\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}\\[6pt] &=1\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, como señala Antonio Vargas $(1)$ implica que $$ x=n\log(x)^{-2001}\sim n\log(n)^{-2001}\tag{2} $$ Así, en términos de órdenes de magnitud, $(2)$ es una declaración más precisa de $$ x=O\left(n\log(n)^{-2001}\right)\tag{3} $$

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A continuación se muestra un gráfico de $\log(\log(x))$ vs $\log(\log(n))$ :

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Para $\log(\log(n))\le5$ (es decir $n\le2.85112\times10^{64}$ ), $\log(\log(x))$ está muy cerca de $0$ (es decir $x\approx e$ ).

Para $\log(\log(n))\ge12$ (es decir $n\ge3.2197\times10^{70683}$ , $\log(\log(x))$ está muy cerca de $\log(\log(n))$ .

Answer 2

Teniendo en cuenta la respuesta de robjohn, el valor aproximado es $e$ . Te doy algunas soluciones para $x(n)$ . $$x(10^0)=2.71692$$ $$x(10^1)=2.72005$$ $$x(10^2)=2.72319$$ $$x(10^3)=2.72633$$ $$x(10^4)=2.72948$$ $$x(10^5)=2.73263$$ $$x(10^6)=2.73579$$ $$x(10^7)=2.73896$$ $$x(10^8)=2.74214$$ $$x(10^9)=2.74533$$ mientras que $e=2.71828$ .

Se puede comprobar que obtenemos un valor $x=3$ que es sólo $10$ % mayor que $e$ sería necesario que $n>1.61\times 10^{82}$ que es bastante grande.

Añadido después de las últimas respuestas de robjohn

Como muestra robjohn, la solución de $$x \log (x)^k=n$$ viene dado por $$x=e^{k\mathrm{W}(n^{1/k}/k)}$$ que corresponde a $$\log( x)=k\mathrm{W}(n^{1/k}/k)$$ Para valores grandes de su argumento, la función de Lambert puede expandirse como $$\mathrm{W}(y) \simeq \log (y)-\log (\log (y))+\frac{\log (\log (y))}{\log (y)}$$ Utilizando $y=\frac{n^{\frac{1}{k}}}{k}$ , $\log(y)=\frac{\log (n)}{k}-\log (k)$ y luego $$\log(x) \simeq k \left(\frac{\log (n)}{k}-\log (k)-\log \left(\frac{\log (n)}{k}-\log (k)\right)+\frac{\log \left(\frac{\log (n)}{k}-\log (k)\right)}{\frac{\log (n)}{k}-\log (k)}\right)$$ que muestra los papeles respectivos de $n$ y $k$ y el hecho de que el valor asintótico es $\log(x) \simeq \log(n)-k \log(k)$

Para $k=2001$ y $n=10^{1000000}$ la expansión anterior da $x=2.08528\times 10^{987280}$ para un valor exacto $x=2.14287\times10^{987280}$ según ha informado robjohn.