Un "principio de transferencia" entre modelos de $\mathbf{ZF+AR}$ y $\mathbf{ZF}$

Question

Por comodidad, no consideraré el axioma de regularidad como un axioma de $\mathbf{ZF}$ y remitirse en su lugar a $\mathbf{ZF+AR}$ al incluir la regularidad.

Supongamos que $\mathfrak{M}\models\mathbf{ZF}$ entonces mi pregunta es si para cada frase $\sigma$ que no pertenece al cierre deductivo de $\mathbf{ZF+AR}$ existe un $\mathfrak{M}_{WF}\models\mathbf{ZF+AR}$ tal que $$\begin{equation} \mathfrak{M}_{WF}\models\sigma \quad\Longrightarrow\quad \mathfrak{M}\models\sigma \end{equation}$$ ¿o no?

Answer 1

La pregunta, tal y como está redactada, nos permite elegir un $\mathfrak{M}_{WF}$ para cada frase $\sigma$ y no requiere ninguna conexión entre $\mathfrak{M}$ y $\mathfrak{M}_{WF}$ . Parece muy poco probable que esto sea lo que tenía en mente. Pero tal como está escrito, la respuesta es sí:

Supongamos que $\mathfrak{M}\models \mathbf{ZF}$ . Fijar una frase $\sigma$ que no es demostrable a partir de $\mathbf{ZF+AR}$ . Entonces $\mathbf{ZF+AR+\lnot\sigma}$ es consistente, por lo que tiene un modelo, que llamaremos $\mathfrak{M}_{WF}$ . Entonces la implicación $$\mathfrak{M}_{WF}\models \sigma \implies \mathfrak{M}\models \sigma$$ se sostiene porque la premisa es falsa: $\mathfrak{M}_{WF} \models \lnot \sigma$ .

Obsérvese que el modelo elegido $\mathfrak{M}_{WF}$ dependía totalmente de $\sigma$ y en absoluto en $\mathfrak{M}$ . De nuevo, no puedo creer que esto es lo que tenías en mente.

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Así que voy a suponer que tienes el orden del cuantificador al revés. Tal vez querías preguntar:

Supongamos que $\mathfrak{M}\models \mathbf{ZF}$ . ¿Existe un modelo $\mathfrak{M}_{WF}\models \mathbf{ZF+AR}$ tal que para cada frase $\sigma$ no demostrable a partir de $\mathbf{ZF+AR}$ tenemos $\mathfrak{M}_{WF}\models \sigma\implies \mathfrak{M}\models \sigma$ ?

Por supuesto, si $\mathfrak{M}\models \mathbf{AR}$ entonces podemos tomar $\mathfrak{M}_{WF} = \mathfrak{M}$ . Pero si no, la respuesta es no. Fijar $\mathfrak{M}\models \mathbf{ZF+\lnot AR}$ y supongamos por contradicción que $\mathfrak{M}_{WF}$ existe.

Sea $\varphi$ sea cualquier frase independiente de $\mathbf{ZF+AR}$ . Por ejemplo, podríamos tomar $\varphi$ ser $\text{Con}(\mathbf{ZF+AR})$ o su negación. (Obsérvese que la existencia de $\mathfrak{M}$ implica que $\mathbf{ZF}$ es coherente, de lo que se deduce que $\mathbf{ZF+AR}$ es consistente, y por tanto el Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel nos dice que ni $\text{Con}(\mathbf{ZF+AR})$ ni su negación son demostrables a partir de $\mathbf{ZF+AR}$ ).

Sin pérdida de generalidad (sustituyendo $\varphi$ con $\lnot \varphi$ si es necesario), podemos suponer que $\mathfrak{M}_{WF}\models \varphi$ . Ahora dejemos que $\sigma = \mathbf{AR}\land\varphi$ . Tenga en cuenta que también $\sigma$ no es demostrable a partir de $\mathbf{ZF+AR}$ ya que si lo fuera, $\varphi$ también lo sería. Pero $\mathfrak{M}_{WF}\models \sigma$ por lo que por transferencia $\mathfrak{M}\models \sigma$ . Esto contradice el hecho de que $\mathfrak{M}\models \lnot \mathbf{AR}$ .