¿Es la teoría del campo racional ordenado contablemente categórica?

Question

Considere la estructura $(\mathbb{Q},+,-,\times,0,1,<).$ Ahora bien, ciertamente, por Lowenheim-Skolem, no podemos tener un conjunto de oraciones en lógica de primer orden cuyos modelos sean precisamente esa estructura y cualquier estructura isomorfa a ella. Pero, ¿y si exigimos que el modelo sea contable? Es decir, si un campo ordenado contablemente infinito satisface la teoría del campo racional ordenado, ¿es isomorfo al campo racional ordenado?

Edición: Además, si la respuesta es no, ¿puede alguien exhibir un campo ordenado no isomorfo a $\mathbb{Q}$ que satisface su teoría completa?

Answer 1

Por compacidad, $\mathbb{Q}$ tiene una extensión elemental no arquimediana $\mathcal{A}$ . Por supuesto $\mathcal{A}$ puede ser incontable, pero podemos evitarlo: dejemos que $a\in\mathcal{A}$ sea un elemento infinito, y aplicar Lowenheim-Skolem hacia abajo para obtener un contable $\mathcal{B}\preccurlyeq\mathcal{A}$ con $a\in \mathcal{B}$ .

Desde $\mathcal{B}\preccurlyeq\mathcal{A}\equiv\mathbb{Q}$ tenemos $\mathcal{B}\equiv\mathbb{Q}$ . Pero por elección de $a$ , $\mathcal{B}$ debe ser no arquimediana y, por tanto, no isomorfa a $\mathbb{Q}$ .

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EDIT: Whoops, yo era realmente inicialmente equivocado - aquí hay una declaración correcta:

De hecho, resulta que disponemos de un principio general muy útil: si $T$ es una teoría (completa, de lenguaje contable) que interpreta un lenguaje no $\aleph_0$ -teoría categorial, entonces $T$ en sí no es $\aleph_0$ -categórico. Así que podemos demostrar la no-categoricidad simplemente encontrando "malas configuraciones". Esto es una consecuencia del teorema de Ryll-Nardzewski, según el cual una teoría (contablemente completa) de primer orden es $\aleph_0$ -si tiene un número finito de $n$ -tipos para cada $n$ . Véase Comentario de Alex Kruckman .

Answer 2

Su pregunta admite una respuesta negativa muy contundente: Ningún dominio integral infinito tiene una teoría contablemente categórica.

Además, se puede entender por "dominio integral infinito" cualquier estructura infinita $R$ en una lengua contable $L$ que contiene el lenguaje de los anillos, tal que el reducto de $R$ al lenguaje de los anillos es un dominio integral. Así, por ejemplo, esto se aplica al campo ordenado $\mathbb{Q}$ .

Sea $R$ sea un dominio integral infinito. Para cada $n$ el polinomio $x^n - 1$ tiene como máximo $n$ raíces en $R$ por lo que $R$ es infinito, no existe un límite superior finito en los órdenes multiplicativos de los elementos distintos de cero de $R$ . Entonces las fórmulas $y = x^n$ no son equivalentes para todos los $n$ (dado $m < n$ si $a\in R$ es un elemento distinto de cero de orden multiplicativo mayor que $n$ y $b = a^n$ entonces $R\models b = a^n$ pero $R\not\models b = a^m$ ). Por el Teorema de Ryll-Nardzewski , $\text{Th}(R)$ no es contablemente categórica.