¿Cuál es el significado de la estructura simpléctica?

Question

Las respuestas pueden venir en matemáticas, físicas y filosóficas sabores.

Edit: parece haber un consenso de que esta pregunta no formulada. Debo respetuosamente en desacuerdo. Mi interés en la pregunta es pertinente a la cuestión en sí. Es claramente no es un "lo que es" pregunta. No veo razón para escribir más de lo necesario para la formulación de la pregunta, y me invitan a nada más que una frase me da algo en que pensar o una idea de dónde buscar.

Answer 1

He aquí cómo yo la entiendo. La mecánica clásica se realiza en un espacio de fase M. Si estamos tratando de describir un sistema mecánico con n partículas, el espacio de fase será de 6*n*dimensiones: 3*n* dimensiones para describir las coordenadas de las partículas, y 3*n* dimensiones para describir el momenta. La propiedad más importante de todo esto es que, dada una función Hamiltoniana $H:M\to \mathbb R$, y un punto del espacio de fases (el estado inicial del sistema), obtenemos una ecuación diferencial que va a predecir el comportamiento futuro del sistema. En otras palabras, la función de $H$ le da un flujo de $\gamma:M\times \mathbb R \to M$ que se asigna un punto p y un tiempo t a un punto de $\gamma_t (p)$ cual es el estado del sistema si se inició en la p después de un tiempo t pasa.

Ahora, si hacemos de la mecánica clásica, estamos muy interesados en los cambios de las coordenadas de nuestro espacio de fase. En otras palabras, queremos describir M en una coordenada-moda gratis (de manera que, para un problema en particular, podemos escoger cualquier coordenadas son más convenientes en el momento). Ahora, si $M$ es un resumen del colector, y $H:M\to\mathbb R$ es una función, no se puede escribir la ecuación diferencial que usted desea. En un sentido, el problema es que usted no sabe que las direcciones son "coordenadas" y que son "impulsos", y la distinción es importante.

Sin embargo, si usted tiene una forma simpléctica $\omega$ sobre M, entonces todos los Hamiltonianos de hecho va a dar la ecuación diferencial y un flujo de $M\times\mathbb R \to M$, y además la forma simpléctica es precisamente la necesaria y suficiente estructura adicional.

Debo decir, que aunque esto puede estar relacionado con el por qué este tema se inventó un centenar de años atrás, esto parece tener poco que ver qué personas están estudiando ahora. Parece que la principal razón por la corriente de trabajo es, en primer lugar, que las nuevas herramientas de aparición que puede resolver los problemas en este tema que no podía ser resuelto antes, y en segundo lugar, que es muy poco intuitivo, pero muy poderosa, la conexión que permite que la gente entienda de 3 y 4 colectores mediante simpléctica herramientas.

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EDIT: me acabo de dar cuenta que no estoy muy contento con la anterior. El problema es que la fase de espacios que surgen en la mecánica clásica son siempre un tipo muy específico de simpléctica múltiples: a saber, la contangent bundlde de alguna base de espacio. De hecho, en la física es generalmente de muy claro que las direcciones son "las coordenadas de las partículas" y que son "momentos": la base de que el espacio es, precisamente, el espacio de la "coordenadas", y los ímpetus naturalmente corresponden a covectors. Además, los cambios de coordenadas que estaría interesado en son siempre los cambios de coordenadas de la base del espacio (que por supuesto inducir un cambio de coordenadas de la cotangente del paquete).

Así, un simpléctica múltiple es una intentos de generalizar los anteriores a los espacios más general que la cotangente del paquete, o a los cambios de coordenadas que pueden estropear la cotangente del haz de la estructura. No tengo idea de cómo motivar a esto.

ACTUALIZACIÓN: me sentó en una charla por Sam Lisi, donde dio una buena razón para estudiar simpléctica colectores de otros que la cotangente del paquete. Es decir, suponga que usted es el estudio de la física del sistema de dos partículas en un avión. Luego, su posición puede ser descrito como un punto en $P = \mathbb R^2 \times \mathbb R^2$, y el espacio de fase es la cotangente bundle $M=T^* P$.

Observe, sin embargo, que este problema tiene un montón de simetría. Podemos traducir ambos puntos, rotar, de buscar en ellos a partir de un bastidor móvil, etc., todo ello sin modificar el problema. Así, es natural que se quiera estudiar no el espacio M sí mismo, sino para el cociente de él por la acción de algunos Yacen grupo G.

Al parecer, $M/G$ (o algo estrechamente relacionadas; a ver a Ben comentario de abajo) seguirá siendo un simpléctica múltiples, pero en general no es la cotangente del paquete de nada. La diferencia es significativa: en particular, la canónica de un formulario en $M=T^*P$ no necesariamente descender a $M/G$.