Estoy bastante confuso al respecto. Sé que el valor propio cero significa que el espacio nulo tiene dimensión no cero. Y que el rango de la matriz no es todo el espacio. Pero es el número de valores propios distintos ( por lo tanto eigenvectos independientes ) es el rango de la matriz?
Respuestas
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Bueno, si $A$ es un $n \times n$ el rango de $A$ más la nulidad de $A$ es igual a $n$ es el teorema de la nulidad. La nulidad es la dimensión del núcleo de la matriz, que son todos los vectores $v$ de la forma: $$Av = 0 = 0v.$$ El núcleo de $A$ es precisamente el eigenespacio correspondiente al eigenvalor $0$ . En resumen, el rango es $n$ menos la dimensión del eigespacio correspondiente a $0$ . Si $0$ no es un valor propio, entonces el núcleo es trivial, y por tanto la matriz tiene rango completo $n$ . El rango no depende de ningún otro valor propio.
julionc
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Mi comentario llega 7 años tarde pero espero que alguien pueda encontrar alguna información útil.
En primer lugar, el número de vectores propios linealmente independientes de un rango $k$ puede ser mayor que $k$ . Por ejemplo \begin{align} A &= \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right] \\ rk(A) &= 1 \ \fin{align} $A$ tiene los siguientes valores y vectores propios $\lambda_1 = 5, \mathbf{v}_1 = [1 \ \ 2]^\top$ , $\lambda_2 = 0, \mathbf{v}_2 = [-2 \ \ 1]^\top$ . Así que $A$ tiene 1 columna linealmente independiente pero 2 vectores propios linealmente independientes. El espacio de columnas de $A$ tiene 1 dimensión. El espacio eigénico de $A$ tiene 2 dimensiones.
También hay casos en los que el número de vectores propios linealmente independientes es menor que el rango de $A$ . Por ejemplo \begin{align} A &= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \\ rk(A) &= 2 \end{align} $A$ no tiene valores propios reales ni vectores propios reales. Pero $A$ tiene dos valores propios de valor complejo $\lambda_1 = i,\ \lambda_2 = -i$ y dos vectores propios de valor complejo.
Otra observación es que un valor propio puede corresponder a múltiples vectores propios linealmente independientes. Un ejemplo es la matriz identidad. $I_n$ sólo tiene 1 valor propio $\lambda = 1$ pero $n$ vectores propios linealmente independientes.
Así que para responder a tu pregunta, creo que no hay una relación trivial entre el rango y la dimensión del eigespacio.
