Por ejemplo $\,P(x) = (x^2+1)(x^2-ax+1) = x^4 - a x^3 + 2 x^2 - a x + 1\,$ :
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para $\,a \gt 0\,$ tiene $4$ cambia de signo;
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para $\,a \in (0,2)\,$ no tiene raíces reales;
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para $\,a \ge 2\,$ tiene dos raíces reales positivas.
$P(x^2)\,$ tiene el mismo número de cambios de signo que $\,P(x)\,$ por lo que para $\,a \ge 2\,$ tiene dos raíces reales positivas y dos negativas.
[ EDITAR Nota adicional sobre esta parte de la pregunta.
encontrar un polinomio en el que, por ejemplo, el signo se alterne 4 veces pero en el que sólo haya 2 raíces reales positivas y en el que las raíces restantes sean raíces reales negativas
No existe tal polinomio. Si el número de raíces reales positivas es estrictamente menor que el número de cambios de signo, entonces las raíces no pueden ser todas reales.
Esto se deduce del enunciado completo de la regla de los signos de Descartes, que se encuentra, por ejemplo, en $§2.1$ et $§2.3.1$ en Relato histórico y demostraciones ultrasencillas de la regla de los signos de Descartes, De Gua, Fourier y la regla de Budan. .
La intuición en el caso más sencillo de un polinomio con todos los coeficientes distintos de cero es que el número de cambios de signo $\,n^+,n^-\,$ en los coeficientes de $\,P(x), P(-x)\,$ suma $\,n=\text{deg}\, P$ desde $\,P(-x)\,$ invierte el signo de todos los demás coeficientes. Si $\,n^+=4\,$ entonces $\,n^-=n-4\,$ por lo que el número de raíces negativas es como máximo $\,n-4\,$ . Como sólo hay dos raíces positivas, hay como máximo $\,2+(n-4)$ $=n-2\,$ raíces reales, por lo que al menos dos raíces deben ser complejas no reales.
