Los elementos nilpotentes se encuentran en algún ideal primo de un anillo conmutativo con $1$

Question

$R$ es un anillo con $1$ . Llamamos $r\in R$ nilpotente si $\exists n\in \mathbb{N}$ tal que $r^n=0$ . Demostrar que todo elemento nilpotente está en algún ideal primo.

El hecho de que $1\in R$ puede no ser necesario aquí ya que este problema tiene múltiples partes.

Sé que "todo elemento nilpotente está en todo ideal primo", pero no asumo que $R$ tiene ideales primos. Así que me gustaría construir uno (posiblemente en términos de un elemento nilpotente dado $r$ ). Supongamos que $r^n=0$ con $n$ mínimo.

Mis intentos de construir un primo que contenga $r$ han incluido $(r),$ la colección de elementos nilpotentes, la colección de divisores cero, la colección de todos los $s$ con $s^n=0$ y $n$ mínimo. Pero no puedo demostrar que ninguno de estos sean ideales primos debido principalmente a que $R$ puede no ser un dominio integral. ¿Cómo puedo construir tal ideal primo?

Answer 1

Necesitas el lema de Zorn (creo que el lema de Zorn es esencialmente necesario)... Hay múltiples maneras de construir un primo; que yo sepa, todas ellas utilizan el lema de Zorn (Axioma de elección).

Sea $S$ es el conjunto de todos los ideales propios que contienen $r$ (que obviamente no es vacío). Con la inclusión, este conjunto está parcialmente ordenado. Tomemos cualquier cadena de ideales $r\in \mathfrak{a}_1\subset \mathfrak{a}_2\subset \cdots$ . Entonces $\bigcup \mathfrak{a}_i$ también es un ideal, y está en $S$ . Este es un límite superior para su cadena. Así que la hipótesis del lema de Zorn se cumple. Por lo tanto $S$ tiene un elemento maximal. Este elemento maximal es un ideal maximal que contiene $r$ . Todo ideal maximal es primo. Por tanto, existe un ideal primo que contiene a $r$ .

Aparte : En general, el conjunto de los divisores nulos ni siquiera es un ideal. El conjunto de nilpotentes (nilradical) es un ideal, pero sólo es primo cuando sólo existe un único primo mínimo (como un dominio integral), en cuyo caso los cero-divisores y los nilradicales coinciden.

Answer 2

Sea I el radical nulo del anillo considerado R. Entonces I es igual al radical primo. Si x es un elemento nilpotente entonces está en I y por tanto en el radical primo.