Sobre la diferenciabilidad de $f(r,\theta,h)=(r\cos\theta,r\sin\theta,h)$

Question

Mi pregunta es:

Demuestra que $f(r,\theta,h)=(r\cos\theta,r\sin\theta,h)$ es diferenciable en $\mathbb{R}^3$ ?

Mi respuesta es: Desde $r\cos\theta$ , $r\sin\theta$ y $h$ son diferenciables en $\mathbb{R}^3$ entonces $f$ es diferenciable.

¿Mi respuesta es correcta o no? Gracias.

Answer 1

$f(r,\theta,h)=(rcos(\theta),rsin(\theta),h)$ define en realidad una función vectorial suave sobre $\mathbb{R}^3$ (es decir $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^3))$ .

Observa que puedes diferenciar las funciones componentes, y cada una de ellas es continuamente diferenciable. Se pueden encontrar derivadas de todos los órdenes. Resulta que las funciones componentes no son más que las conocidas (esperemos) coordenadas cilíndricas. Puedes convertirlas a coordenadas cartesianas y obtener $f(x,y,z)=(x,y,h)$ donde $x=rcos(\theta)$ , $y=rsin(\theta)$ , $z=h$ . Se puede aplicar el mismo argumento: demostrar que cada función componente es diferenciable y continua, y concluir que tenemos un campo vectorial suave (infinitamente diferenciable con todas las derivadas continuas).