¿Qué conjunto de números contiene el subconjunto de los números complejos? ¿Existe tal conjunto?

Question

Básicamente lo que pregunto es dentro de qué conjunto están los números complejos. Seguramente debe haber un conjunto que englobe a los números complejos y así sucesivamente.

En mi libro de precálculo del último curso de bachillerato el conjunto más externo que se enseñaba era el conjunto de números complejos de la forma $a + bi$ . Este conjunto contenía números enteros, fracciones, imaginarios, etc.

Answer 1

Bueno, está el cuaterniones descubierta por Hamilton a mediados del siglo XIX. Estos son los números de forma $a + bi + cj + dk$ donde $i, j, k$ satisfacen las siguientes relaciones: $$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$ de la que podemos deducir $$ ij = k, jk = i, ki = j $$ con anticonmutación de dos cualesquiera de $i, j, k$ . Por lo tanto, la multiplicación no es conmutativa sobre estos números. Del mismo modo, los cuaterniones se incrustan en los octoniones pero ten en cuenta que la multiplicación sobre ellos ni siquiera es asociativa.

Si quieres que la extensión sea un campo (ten en cuenta que los cuaterniones y los octoniones no son campos, ya que no son conmutativos), existen ciertas restricciones sobre el campo que estás incrustando $\mathbb{C}$ en puede ser. Debido a que los números complejos son algebraicamente cerrados, lo que significa que cualquier polinomio con coeficientes complejos es un producto de sus raíces y quizás otro término de escala, no vas a ser capaz de encontrar una extensión de campo finito de los números complejos (lo que significa, vagamente, que nunca se puede extender $\mathbb{C}$ a números de forma $a_0 + a_1\alpha + \ldots + a_n\alpha^n$ con $\alpha$ que satisfagan cualquier relación algebraica sobre $\mathbb{C}$ . Esta es su representación de $\mathbb{C}$ : números de forma $a + b\alpha$ donde $\alpha^2 + 1 = 0$ ). Por lo tanto, cualquier cosa $\alpha$ con el que linda $\mathbb{C}$ para obtener algo estrictamente mayor que $\mathbb{C}$ no puede satisfacer ninguna relación algebraica sobre $\mathbb{C}$ . Una de ellas es $\alpha = t$ , un indeterminado. Esto le da $\mathbb{C}(t)$ el campo de las funciones racionales con coeficientes complejos.

Answer 2

Los números complejos constituyen un punto de parada natural. Para pasar de los números naturales a los enteros hay que buscar soluciones a ciertas ecuaciones lineales que antes no existían ( $x+n=0$ ). Para pasar de enteros a racionales se piden soluciones a todas las ecuaciones lineales $px-q=0$ . Para pasar de racionales a reales se pide que se tengan todos los límites que se puedan desear ( $3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...$ debe aproximarse a algún tipo de número). Otra forma de decirlo es que $\mathbb{R}$ es "completo" Finalmente para los números complejos se pide que $x^2+1=0$ debería tener una solución. Resulta que para los números complejos, todas las ecuaciones polinómicas tienen solución, y es completo. De hecho, es el único campo (sistema numérico) que contiene los números enteros que es completo y tiene soluciones para todas las ecuaciones polinómicas.

En los comentarios alguien menciona los cuaterniones como una posible extensión, pero depende del gusto personal si realmente los consideras "números" o no. Por ejemplo, no son conmutativos (no tienen $xy = yx$ para todos $x$ y $y$ ).