Sea $A$ ser un $n \times n$ matriz que es "casi triangular superior" en el siguiente sentido: las entradas en y por encima de la diagonal principal pueden ser lo que quieran, las entradas en la diagonal justo debajo de la diagonal principal todas iguales a -1 y las entradas en las diagonales aún más bajas iguales a cero. Por ejemplo: $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -1 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & -1 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & -1 & a_{44} \end{pmatrix}$$
Accidentalmente encontré una expresión muy bonita para el determinante de estas matrices.
Para $i \leq j$ en $\mathbb{N}$ deje $[i, \ldots, j]$ denotan el intervalo de enteros sucesivos que comienza en $i$ y terminando en $j$ . Existen $2^{n-1}$ formas de dividir el intervalo $[1, \ldots, n]$ en subintervalos (por ejemplo $[1, 2, 3][4][5, \ldots, n]$ sería una partición de este tipo): para cada una de las $n-1$ comas en $[1, \ldots, n]$ podemos decidir si sustituirlo o no por un ']['.
Ahora para calcular el determinante de la matriz $A$ de la forma anterior, sólo tenemos que hacer lo siguiente:
- Anote el $2^{n-1}$ particiones de $[1, \ldots, n]$ en subintervalos.
- En cada partición sustituir cada subintervalo $[i, \ldots, j]$ con la entrada matricial $a_{ij}$ e interpretar la cadena resultante de entradas de la matriz como un producto
- Suma todos los $2^{n-1}$ condiciones. (¡Sin signos menos!)
El resultado es $\det A$ .
Raro, ¿eh? Como bonus gratuito observamos que el expresión determinante para los polinomios completos de Bell puede calcularse de este modo.
Dado que esta identidad no es terriblemente difícil de demostrar, mi pregunta es: ¿se conoce? Pero también sería bienvenida una explicación más conceptual, quizás relacionando las particiones de intervalo aquí con las particiones de conjunto en la definición del polinomio de Bell.
ACTUALIZACIÓN: A petición de Darij Grinberg daré una prueba y algunas aplicaciones sencillas a las matemáticas financieras.
Prueba por inducción en $n$ : Escriba a $A_{ij}$ para la matriz obtenida tachando la fila $i$ y columna $j$ de $A$ . Dividimos las particiones del intervalo $[1, \ldots, n]$ en dos tipos: los que terminan en $[n]$ (de cola corta) y las que terminan en $[i, \ldots, n]$ para algunos $i < n$ (cola larga). Las particiones de cola larga no contienen intervalos que empiecen por $n$ o terminando en $n-1$ por lo que si aplicamos nuestro proceso de tres pasos descrito anteriormente sólo a este conjunto obtendremos una expresión en los elementos de $A_{n, n-1}$ que (tras la renumeración correcta) es igual a $\det(A_{n, n-1})$ por la hipótesis de inducción.
Cuando aplicamos nuestro procedimiento de tres pasos a las particiones de cola corta obtenemos en una aplicación aún más directa de la hipótesis de inducción el número $a_{n,n} \cdot \det(A_{n, n})$ .
Así que lo que queda por demostrar es que $\det(A) = \det(A_{n, n-1}) + a_{n,n}\det(A_{n,n})$ pero esto no es más que la fórmula de expansión del cofactor de Laplace para el determinante, aplicada a la última fila de $A$ .
Interpretación del determinante en caso $A$ es constante a lo largo de las diagonales: Supongamos que $A$ tiene $1$ en la primera (= principal) y segunda (= la que está justo encima) diagonal y $0$ en todos los demás sitios (excepto en $-1$ en la diagonal zeroth por supuesto) entonces lo anterior establece que $\det A$ es igual al número de maneras de embaldosar un camino de longitud $n$ por baldosas de longitud 1 y 2, que es bien sabido que es la $n$ número de Fibonacci. Poniendo $1$ en diferentes diagonales podemos encontrar de forma similar identidades determinantes para los números de Tribonacci o, más interesante desde el punto de vista financiero, para el número de formas de pagar un $n/100$ -sólo con monedas.
Manteniéndonos en el ámbito del dinero: si en lugar de sólo $0$ y $1$ llenamos las diagonales con números del intervalo real $[0, 1]$ (sólo un número repetido una y otra vez por diagonal) el recuento anterior se convierte en una probabilidad. Por ejemplo, si tomamos $n= 40$ , poner $0$ en la diagonal principal, $1/12$ en la segunda diagonal, $1/6$ en la tercera diagonal, etc., hasta $0$ en las diagonales 13 a 40, el determinante de $A$ nos dará la probabilidad de caer exactamente en Go (en lugar de sólo pasarlo) después de un viaje de ida y vuelta en una partida de Monopoly.
Lo que realmente me interesaría son interpretaciones de estos determinantes en caso de que las entradas de cada diagonal no sean constantes (sino que sigan algún otro patrón que permita la interpretación).
