Un problema de desafío de Fundamentos del análisis matemático de Sally.
El problema se lee: Supongamos $A$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ . Demuestre que $A$ puede contener como máximo un punto $p$ tal que $A$ es isométrico respecto a $A \setminus \{p\}$ con la métrica habitual.
No sé por dónde empezar. He encontrado un ejemplo bastante trivial de un conjunto para el que esto es cierto: que $A$ por ejemplo $\{(n,0) : n \in \{0\} \cup \mathbb{Z}^+\}$ . Entonces podemos eliminar el punto $(0,0)$ y construir la isometría $f(n,0) = (n+1, 0)$ . Se trata claramente de una isometría porque $d((n,0),(m,0)) = d((n+1,0),(m+1,0))$ En otras palabras, nos estamos desplazando hacia la derecha. Pero ahora supongamos que eliminamos algunos $(p,0) \neq (0,0)$ . Entonces debemos tener $d((m,0), (m+1,0)) = 1$ para todos los puntos $(m,0), (m+1,0)$ pero como $(p,0)$ siempre tendremos un punto de "salto" en el que la distancia entre dos puntos sucesivos es $2$ .
Pero no estoy seguro de por dónde seguir. Isometrías son relaciones de equivalencia, así que tal vez podamos demostrar que si $A \setminus \{p\}$ es isométrica respecto a $A \setminus \{q\}$ entonces $p = q$ ?
Diré que dado lo a menudo que Sally se equivoca en su libro y que algunos de los otros problemas de desafío son problemas abiertos, esto podría no tener una solución razonable (si es que es verdad).
¿Alguna idea?
Para evitar confusiones, en el problema no se pide una prueba de que el conjunto no sea isométrico a sí mismo menos dos puntos a la vez. Se está pidiendo una prueba de que hay a lo sumo un único punto que se puede quitar del conjunto y luego crear una isometría. Esto fue algo que malinterpreté durante un tiempo.
Edición: Esto me sigue dejando perplejo. Empiezo a preguntarme si es cierto. Bueno, he puesto una recompensa por ello, ¡que espero que sirva como incentivo para probar este problema!
