Demuestre que los puntos cerrados de $\operatorname{Spec} R$ son exactamente los elementos de $\operatorname{maxSpec} R$ es decir, cada punto cerrado de $\operatorname{Spec} R$ es máxima.
Intento de prueba:
Sea $\{\mathfrak{p}\} \subset \operatorname{Spec}$ estar cerrado. Entonces $\overline{\{\mathfrak{p}\}} = \{\mathfrak{p}\}$ pero $\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $\mathfrak{p}$ y como los conjuntos cerrados del espectro son de la forma $V(I)=\{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R \mid \mathfrak{p} \supset I\}$ el más pequeño que contiene $\mathfrak{p}$ es $V(\mathfrak{p})$ Así pues $$\{\mathfrak{p}\} = \overline{\{\mathfrak{p}\}} = V(\mathfrak{p})$$ y por tanto no existe ningún ideal primo $\mathfrak{q}$ de $\operatorname{Spec}$ conteniendo adecuadamente $\mathfrak{p}$ . Dado que todo ideal maximal es primo, esto implica que ningún ideal maximal contiene a $\mathfrak{p}$ así que $\mathfrak{p}$ debe ser máxima.
¿Es correcta esta idea? Me pregunto si existe un ideal máximo que no sea primo y que contenga $\mathfrak{p}$ lo que haría falsa esta conclusión.
