Asociatividad con familias en la teoría ingenua de conjuntos de Halmos

Question

Estoy repasando la teoría ingenua de conjuntos de Halmos y tengo problemas con la afirmación de la página 35 en la sección Familias.

Tenemos la familia $\{I_j\}$ con dominio $J$ En otras palabras $I$ es una función $I: J \rightarrow $ algún otro conjunto.

También se nos da $K = \bigcup\limits_{j} I_j$ y que $\{A_k\}$ sea una familia con dominio $K$ (así $A: K \rightarrow$ algún otro conjunto).

A continuación afirma $\bigcup\limits_{k \in K} A_k = \bigcup\limits_{j \in J} \left(\bigcup\limits_{i \in I_j} A_i\right)$

Mi pregunta: ¿por qué el último operador de unión está iterando sobre $i \in I_j$ ?

Desde $K$ es la unión de la familia $\{I_j\}$ Creo que eso también significa $K$ es la imagen de la función $I$ . Así, cada $I_j$ es miembro de $K$ . Tal vez valga la pena señalar que todo en Halmos hasta ahora es un conjunto, los números no se han construido todavía. Así que los $I_j$ constituyen los miembros de $K$ pero cada $I_j$ es a su vez un conjunto con un número desconocido de elementos.

Para construir el conjunto $\bigcup\limits_{i \in I_j} A_i$ , $A_i$ tendría que definirse en los elementos de cada $I_j$ . Pero los elementos $i \in I_j$ no son lo mismo que los elementos $I_j$ $\in K$ . El dominio de $A$ viene dado por $K$ . Así que los argumentos de $A$ son $I_j \in K$ no $i \in I_j$ .

¿He entendido mal algo sobre las familias? El libro sigue diciendo que esta igualdad es la generalización de la ley asociativa para las uniones. Pero no estoy seguro de cómo esto demuestra que ya que no estoy seguro de que $A$ se define sobre los elementos de $I_j$ .

Answer 1

Para cada $j$ , $I_j$ es un subconjunto de $K$ y, por tanto, para cada $i\in I_j$ , se obtiene un conjunto $A_i$ (porque $i\in I_j\subset \bigcup_{j\in J}I_j = K$ ).

Por lo tanto, la última unión va sobre cada elemento en $K=\bigcup_{j\in J}I_j$ pasando por cada elemento de cada $I_j$ .

$K$ no es muy la imagen de $I$ es la unión de los elementos de la imagen.

Pongamos un ejemplo. Digamos $J=\{1,2,3\}$ y $I$ es la función con imágenes $$\begin{align*} I_1 &= \{ a, b, c\}\\ I_2 &= \{a,y\}\\ I_3 &= \{x\} \end{align*}$$

Entonces $K= \bigcup_{j}I_j = \{a,b,c,y,x\}$ . Tenga en cuenta que esta no es la imagen de $I$ (que es el conjunto $\{I_1, I_2, I_3\}$ ), sino la unión de los elementos de la imagen; a veces se denomina "unión amalgamada" de la imagen, aunque el término no es muy común. Es el conjunto garantizado por el axioma de las uniones, que dice que dado un conjunto $X$ existe un conjunto $Z$ con la propiedad de que $z\in Z$ si y sólo si existe $Y\in X$ con $z\in Y$ .

Así, tenemos cinco conjuntos indexados por $K$ : $A_a$ , $A_b$ , $A_c$ , $A_y$ y $A_x$ .

La unión de la izquierda sería simplemente la unión de estos cinco conjuntos.

La unión de la derecha es la unión de tres conjuntos, a saber $$\begin{align*} \bigcup_{i\in I_1}A_i &= A_a\cup A_b\cup A_c\\ \bigcup_{i\in I_2}A_i &= A_x\cup A_y;\\ \text{and }\bigcup_{i\in I_3}A_i &= A_{x}. \end{align*}$$ Luego se toma la unión de estos tres conjuntos.

Answer 2

Creo que eso también significa $K$ es el $\color{red}{\text{image}}$ de la función $I$ . Así, cada $I_j$ es un $\color{red}{\text{member}}$ de $K$ .

Incorrecto. $K = \bigcup_{i \in J}I_j$ el unión arbitraria de la imagen de $I : J \to \mathcal{I}$ . Así que, de hecho, cada $I_j$ es un subconjunto de $K$ .

Por cierto la unión arbitraria de un conjunto $S$ se define como $x \in \bigcup S$ $\iff$ existe algún $s \in S$ tal que $x \in s$ .

Y para comparar también incluyo la definición de la unión indexada de una familia de conjuntos $I : J \to \mathcal{I}$ : $x \in \bigcup_{j \in J}I(j)$ $\iff$ hay algo de $t \in J$ tal que $x \in I(t)$ .

Efectivamente, podemos calcular:

\begin{align*} x \in K = \bigcup_{j \in J} I_j &\iff x \in I_t = I(t) \text{ for some } t \in J \\ &\iff x \in I_t \text{ for some } I_t \in I(J) \\ &\iff x \in \bigcup I(J) \end{align*}

Es decir, cada elemento de $K$ es un elemento de un elemento de la imagen de $I$ (no es una errata).

Con esta corrección desaparece su confusión. Pues si $A : K \to \mathcal{A}$ es una familia de conjuntos:

$x \in \bigcup_{k \in K}A_k$ $\iff$ $x \in A_i = A(i)$ para algunos $i \in K$ . Pero, ¿qué $i \in K$ ¿Qué quieres decir? Pues eso mismo significa $i \in I_j = I(j)$ para algunos $j \in J$ . Y de ahí encadenando todo obtenemos $x \in \bigcup_{k \in K}A_k$ $\iff$ $x \in A_i = A(i)$ para algunos $i \in I_j$ para algunos $j \in J$ . Y esa última afirmación es cierta $\iff$ $x \in \bigcup_{j \in J}\big(\bigcup_{i \in I_j}A_i\big)$ .

Answer 3

Vuelva a escribir $\{A_k:k\in K\}$ comme $\{A_i:i\in K\}.$

Para todos $i$ tenemos $i\in K\iff \exists j\in J\,(i\in I_j)\}.$

Por lo tanto $$\cup_{i\in K}A_i=\bigcup \{A_i:i\in K\}=$$ $$=\bigcup \{A_i:\exists j\in J\,(i\in I_j)\}=$$ $$=\cup_{j\in J}\bigcup \{A_i:i\in J\}=$$ $$=\cup_{j\in J}\cup_{i\in I_j}A_i\,.$$