El teorema de Taylor establece que
$$f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt $$
Podemos utilizarlo para evaluar integrales. Por ejemplo, consideremos $f(x)=\frac{b!x^{b+n+1}}{(b+n+1)!}$ . Esto ha $f^{(k)}(0)=0$ para $k\leq n$ y $f^{(n+1)}(x)=x^b$ . Por lo tanto, por el teorema de Taylor,
$$f(1)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \int_0^1 \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (1 - t)^n \, dt $$ $$\implies \frac{b!}{(b+n+1)!}=\frac1{n!}\int_0^1t^b(1-t)^n\,dt$$ $$\implies\beta(b+1,n+1)=\int_0^1t^b(1-t)^n\,dt=\frac{b!\, n!}{(b+n+1)!}$$
Así pues, hemos determinado una expresión explícita para la función Beta de forma muy eficiente utilizando el teorema de Taylor.
El teorema de Taylor también podría utilizarse para evaluar sumas parciales utilizando el conocimiento de la suma infinita; por ejemplo, considerando $f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty kx^k=\frac x{(1-x)^2}=\frac1{(1-x)^2}-\frac1{1-x}$ para $|x|<1$ y observando que $f^{(n+1)}(x)=(n+2)!(1-x)^{-(n+3)}-(n+1)!(1-x)^{-(n+2)}$ podemos evaluar su suma parcial como
$$\sum_{k=0}^nkx^k=\frac x{(1-x)^2}-(n+2)(n+1)\int_0^x(1-t)^{-(n+3)} (x - t)^n \, dt$$ $$-(n+1)\int_0^x(1-t)^{-(n+2)} (x - t)^n \, dt ={\frac {x ( 1-{x}^{n} ) }{ \left( 1-x \right) ^{2}}}-{ \frac {n{x}^{n+1}}{1-x}} $$ tras evaluar las integrales y simplificar. De hecho, esto es válido para todas las $x$ excepto $x=1$ y si un límite hacia $1$ obtenemos correctamente $\frac{n(n+1)}{2}$ . ¿Qué otro tipo de sumas e integrales pueden evaluarse utilizando el Teorema de Taylor? ¿Es éste un método eficaz para sumar o integrar? ¿Existen ciertas limitaciones que debamos tener en cuenta con este método?
