¿Cuántas veces las manecillas del reloj forman un ángulo Theta?

Question

Es posible que se haya encontrado con una pregunta de este tipo en la que $\theta=90^o$ pero esto es un poco diferente y está causando un pequeño problema.

Planteé este problema de la siguiente manera y resolví para $\theta= 90^o$ y obtuvo una respuesta errónea. Intenta resolverlo por ti mismo.

$$\omega_h = \frac{2\pi}{12} ~ rad/hr $$ $$\omega_m = 2\pi ~ rad/hr $$ $$In ~time~ t,$$ $$\theta_h = \frac{2\pi}{12}t ~ rad $$ $$\theta_m = 2\pi t ~ rad $$ $$ |\theta_m - \theta_h|= \frac{\pi}{2} $$

$$\frac{2\pi t\times11}{12}=\frac{\pi}{2} $$ $$t=\frac{12}{2\times2\times11} $$ $$t= \frac{3}{11} $$ $ \therefore $ número total de estos intervalos en un día son, $$ \frac{24}{\frac{3}{11}} = 88 $$

Pero la respuesta es 44. Entonces, ¿dónde me he equivocado con las matemáticas? Una idea que tengo es que $\frac{3}{11}$ horas es el tiempo en el que el minutero recorre 90 + x y la aguja horaria recorre x grados que no es lo que se ha preguntado.

Answer 1

Su ecuación $|\theta_m - \theta_h|= \frac{\pi}{2}$ no mide el intervalo de tiempo entre acontecimientos sucesivos, sino el tiempo transcurrido entre medianoche y el primer acontecimiento después de medianoche. Por eso la "solución $t=3/11$ parece variar para otros ángulos $\theta\neq\pi/2,$ y por qué es incorrecto incluso para $\theta=\pi/2.$

No necesitamos medir el tiempo transcurrido entre la medianoche y el primer suceso, sino el tiempo transcurrido entre sucesivos sucesos. El hecho de que no nos importe el orden de las dos manecillas complica ligeramente las cosas, así que tratemos primero el diferente problema en el que el orientado ángulo entre las manos tiene que ser igual a $\theta,$ es decir, el signo de $\theta$ asuntos.

Tales eventos están espaciados uniformemente en el tiempo, porque el intervalo de tiempo entre dos eventos de este tipo está determinado únicamente por la velocidad angular relativa entre las dos manecillas. De hecho, es igual a $2\pi$ dividido por su velocidad angular relativa $48\pi/\hbox{day}-4\pi/\hbox{day}=44\pi/\hbox{day}.$ El cociente es $1/22$ ª parte de un día. Ese es el tiempo que tardan las manecillas en "ponerse al mismo nivel", es decir, en alcanzar exactamente el mismo ángulo de orientación relativa que en su posición inicial.

Existen $22$ acontecimientos de este tipo en un día. Esto es independiente del ángulo orientado inicial elegido.

Ahora pasamos al problema original donde la orientación del ángulo hace no asunto. Si sólo cuentas el valor absoluto del ángulo $\theta,$ y $\theta$ es diferente de $0$ y de $\pm\pi,$ entonces el número de eventos se duplica a $44,$ a saber $22$ por cada signo de $\theta.$

Answer 2

En 12 horas hacen 11 superposiciones, es 1 y algo 2 y algo ... 11 y algo. Esto se debe a que el minutero se mueve mucho más rápido que la aguja horaria y por $360^{\circ}+30^{\circ}$ . En 12 horas el minutero cruzará $12 \cdot 360^{\circ} = 11 \cdot (360^{\circ} + 30^{\circ})$ por lo que se solapan 11 veces. Lo mismo ocurre con $180^{\circ}$ porque para cada solapamiento hay exactamente una posición dentro de la misma hora con $180^{\circ}$ .

Para cualquier otro ángulo, la aguja de los minutos y la aguja de las horas se posicionarán dos veces dentro de una hora de forma que formen ese ángulo, una entre el $n^{th}$ y $(n+1)^{th}$ y otra entre $(n-1)^{th}$ y $n^{th}$ se solapan. Son 22 posiciones.

En 24 h tenemos 44 posiciones de este tipo para ángulo que no es $0^{\circ}$ o $180^{\circ}$ .

El problema en tus ecuaciones es la distancia que intentas medir.

El primer partido es $\frac{\pi}{2}$ la siguiente diferencia con la misma posición relativa de las manos es $2\pi+\frac{\pi}{2}$ etc.

Answer 3

Que ha comprobado sólo la primera vez, si comprueba eso:

$k_1,k_2 \in \mathbb{Z}$

$|\theta_h - \theta_m| = \frac{\pi}{2}+2\pi k_1$ o $|\theta_h - \theta_m| = -\frac{\pi}{2}+2\pi k_2$

$\frac{22}{12} t = \frac{1}{2}+2k_1$ o $\frac{22}{12} t = -\frac{1}{2}+2k_1$

$0 \leq t\leq24$ porque lo comprobamos durante 1 día.

$0 \leq \frac{22}{12} t \leq 44$

$0 \leq \frac{1}{2}+2k_1 \leq 44$ o $0 \leq -\frac{1}{2}+2k_2 \leq 44$

$0 \leq k_1 \leq 21$ o $1 \leq k_2 \leq 22$

$k_1$ y $k_2$ tienen 44 valores posibles.

Answer 4

$\frac 3{11}$ horas es el tiempo que tarda el minutero en ganar $90^\circ$ en la aguja horaria. Ese será el tiempo desde medianoche (o mediodía) hasta la primera $90^\circ$ punto. Habiendo tenido un caso se necesita el minutero para ganar $180^\circ$ para llegar a la siguiente, que lleva $\frac 6{11}$ horas.