La teoría K como teoría cohomológica generalizada

Question

¿Cuál de las afirmaciones es incorrecta?

1. una teoría cohomológica generalizada (en espacios topológicos de buen comportamiento) está determinada por sus valores en un punto
2. complejo reducido $K$ -teoría $\tilde K$ y reducción real $K$ -teoría $\widetilde{KO}$ son teorías cohomológicas generalizadas (en espacios topológicos de buen comportamiento)
3. $\tilde K(*)= \widetilde{KO} (*)=0$

Pero ciertamente $\tilde K\neq \widetilde{KO}$ .

Answer 1

1 es doblemente erróneo. Primero, necesitas distinguir teorías de cohomología generalizada y reducido teorías cohomológicas generalizadas. Si desea trabajar con estas últimas, deberá sustituir "un punto" en 1 por " $S^0$ ", y entonces la versión corregida de 3 ya no se sostiene. Pero incluso esta nueva versión 1' es falsa; una teoría de cohomología generalizada no está determinada por sus coeficientes, a menos que estén concentrados en un solo grado (ejemplo: teoría K compleja frente a cohomología entera hecha incluso periódica).