¿Conmutan siempre las matrices diagonales?

Question

Sea $A$ ser un $n \times n$ y que $\Lambda$ ser un $n \times n$ matriz diagonal. ¿Es siempre el caso que $A\Lambda = \Lambda A$ ? Si no es así, ¿cuándo $A \Lambda = \Lambda A$ ?

Si restringimos las entradas diagonales de $\Lambda$ a ser igual (es decir $\Lambda = \text{drag}(a, a, \dots, a)$ ), entonces está claro que $A\Lambda = AaI = aIA = \Lambda A$ . Sin embargo, no consigo encontrar un argumento para el caso general.

Answer 1

Es posible que una matriz diagonal $\Lambda$ conmuta con una matriz $A$ cuando $A$ es simétrico y $A \Lambda$ también es simétrica. Tenemos

$$ \Lambda A = (A^{\top}\Lambda^\top)^{\top} = (A\Lambda)^\top = A\Lambda $$

Lo anterior se cumple trivialmente cuando $A$ y $\Lambda$ son diagonales.

Answer 2

Una matriz diagonal no conmuta con todas las matrices.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Pero..:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Answer 3

Si todas las entradas diagonales de $\Lambda$ son distintas, conmuta sólo con matrices diagonales.

En cambio, para cada $k$ entradas diagonales consecutivas iguales en $\Lambda,$ podemos permitir $A$ tener nada en el correspondiente $k$ por $k$ bloque cuadrado con ambas esquinas en la diagonal principal.

Esto significa que el conjunto de matrices que conmutan con $\Lambda$ tiene una dimensión mínima $n$ y una dimensión máxima $n^2.$ Supongamos que tenemos $r$ entradas diagonales diferentes, y hay $k_i$ copias de la entrada diagonal $\lambda_i.$ Cada $k_i \geq 1,$ y tenemos $$ k_1 + k_2 + \cdots + k_r = n. $$ Entonces, por la construcción en bloques que mencioné antes, la dimensión del espacio de matrices que conmutan con $\Lambda$ es $$ k_1^2 + k_2^2 + \cdots + k_r^2. $$ El mínimo es cuando $r=n,$ así que todos $k_i = 1,$ y la dimensión es $n$

El máximo es cuando $r=1,$ y $k_1=n,$ la matriz es un múltiplo escalar de la matriz identidad, y la dimensión es $n^2.$

Answer 4

La afirmación es falsa en general. Consulte $A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$ $\Lambda = \begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{bmatrix}$ . Entonces

$A \Lambda = \begin{bmatrix}2 & 6\\6 & 12\end{bmatrix}$

$\Lambda A = \begin{bmatrix}2 & 4\\9 & 12\end{bmatrix}$

En una nota más útil, puede consultar matrices conmutativas en Wikipedia.

Answer 5

La respuesta de @AOK no suele ser cierta. Obviamente para matriz idéntica diagonal $\Lambda$ sólo es válido cuando $A$ es una matriz simétrica.