simplex y power set

Question

He leído lo siguiente:

Sea $M$ sea un conjunto. El simplex en $M$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $M$ lo denotamos por $\Delta_M$ . A veces nos referiremos a los elementos de $M$ como vértices de $\Delta_M$ . Un complejo simplicial en $M$ es un subconjunto de $\Delta_M$ que se cierra bajo la toma de subconjuntos. Si $\Gamma$ es un complejo simplicial en $M$ y $F\in \Gamma$ decimos que $F$ es una cara de $\Gamma$ . Exigimos que los complejos simpliciales no sean vacíos, es decir, que el conjunto vacío sea siempre una cara.

Es $\Delta_M$ lo que llamamos completo ¿Simplex? ¿Y no es esto simplemente $2^M$ el conjunto de potencias de $M$ ? ¿Qué queremos decir con cerrado bajo la toma, queremos decir cerrado bajo unión ¿es esto lo que llamamos un complejo simplicial abstracto y cómo se relaciona con la noción geométrica de complejo simplicial?

Answer 1

Esta definición parece asumir que $M$ es un conjunto finito, ya que normalmente se exige que los miembros de un complejo simplicial sean subconjuntos finitos del conjunto subyacente. Sí, $\Delta_M$ es el conjunto de potencias de $M$ . Si $\Gamma\subseteq\Delta_M$ , $\Gamma$ es cerrado bajo la toma de subconjuntos sólo si $X\subseteq Y\in\Gamma$ implica que $X\in\Gamma$ .

En términos más generales, si $\mathscr{A}$ es cualquier colección de conjuntos, decimos que $\mathscr{A}$ es cerrado bajo la toma de subconjuntos (o simplemente cerrado bajo la toma de subconjuntos ) si cada subconjunto de un miembro de $\mathscr{A}$ también es miembro de $\mathscr{A}$ . Otra forma de decirlo es que para cada $A\in\mathscr{A}$ , $\wp(A)\subset\mathscr{A}$ . Los sindicatos no tienen nada que ver.

Si $K$ es un complejo geométrico simplicial, sea $M$ sea el conjunto de sus vértices; construiremos un complejo simplicial abstracto asociado $\Gamma$ en $M$ . Cada $d$ -cara dimensional de $K$ tiene $d+1$ vértices; que ese conjunto de $d+1$ Los vértices pertenecen a $\Gamma$ . Por ejemplo, si $K$ consiste en un tetraedro con vértices $v_1,v_2,v_3$ y $v_4$ un triángulo con vértices $v_1,v_2$ y $v_5$ y un segmento con vértices $v_5$ y $v_6$ , $M=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ y

$$\begin{align*}\Gamma&=\Big\{\{v_1,v_2,v_3,v_4\},\{v_1,v_2,v_3\},\{v_1,v_2,v_4\},\{v_1,v_3,v_4\},\{v_2,v_3,v_4\},\\ &\quad\;\;\,\{v_1,v_2\},\{v_1,v_3\},\{v_1,v_4\},\{v_2,v_3\},\{v_2,v_4\},\{v_3,v_4\},\{v_1\},\{v_2\},\\ &\quad\;\;\,\{v_3\},\{v_4\},\varnothing,\{v_1,v_2,v_5\},\{v_1,v_5\},\{v_2,v_5\},\{v_5\},\{v_5,v_6\},\{v_6\}\Big\}\;. \end{align*}$$

Yendo en la otra dirección, citaré Wikipedia :

Si $K$ es [un] [complejo simplicial abstracto] finito, entonces podemos describir $|K|$ más sencillamente. Elija una incrustación del conjunto de vértices de $K$ como un subconjunto afinamente independiente de algún espacio euclidiano $\Bbb R^N$ de dimensión suficientemente alta $N$ . Entonces cualquier cara $X \in K$ puede identificarse con el simple geométrico en $\Bbb R^N$ que abarcan los vértices incrustados correspondientes. Tomemos $|K|$ como la unión de todas las símplices.

(Aquí $|K|$ es la realización geométrica de $K$ .)