La mayoría de los libros de texto introducir diferenciable colectores a través de mapas y gráficos. Esto tiene la ventaja de ser concreto, pero la desventaja de que las coordenadas locales son por lo general completamente irrelevante - la elección de los atlas y el gráfico es arbitraria, y rara vez, si alguna vez parece jugar ningún papel en la geometría diferencial/topología.
Hay una mejor definición de diferenciables colectores, que no sé un buen libro de texto de referencia para, a través de las poleas de los locales de los anillos. Esta definición no implica ningún extraño opciones arbitrarias, y es coordinar libre. El párrafo 3 en la Wikipedia (que es la definición real) estados:
Una variedad diferenciable (de clase $C_k$) consta de un par de dólares(M, \mathcal{S}_M)$ donde $M$ es un espacio topológico, y $\mathcal{S}_M$ es una gavilla de local $R$-álgebras definido en $M$, que localmente anillado space $(M,\mathcal{S}_M)$ es localmente isomorfo a $(\mathbb{R}^n \mathcal{S})$.
Esto me confunde, porque yo no veo por qué una gavilla debe ser acíclicos, o donde las condiciones como "paracompact" o "completar la métrica del espacio" o de "segunda contables de Hausdorff" están implícitos. Por lo tanto:
- La entrada de la wikipedia tiene un error (me gustaría cordura-comprobar esto antes de la edición de la entrada, debido a que esta es una definición fundamental que debe tener miles de lectura).
- En algún lugar de esa definición, la condición de que $M$ ser paracompact es implícita.
Pregunta: si la definición anterior, de hecho, requieren que $M$ ser de segunda contables de Hausdorff o paracompact o lo que sea? O es de alguna manera implícito en algún lugar, y si es así, ¿dónde?
También, es esta definición dada con cuidado en cualquier libro de texto?
Actualización: he editado el artículo de la Wikipedia para exigir que se $M$ ser de segunda contables de Hausdorff. Pero todavía me pregunto si hay un libro de texto que cubren estas cosas, y si al requerir la gavilla para ser acíclicos podría haber funcionado como un lugar alternativo.