Cordura ver información acerca de la definición de Wikipedia de múltiple diferenciable como un espacio localmente anillado

Question

La mayoría de los libros de texto introducir diferenciable colectores a través de mapas y gráficos. Esto tiene la ventaja de ser concreto, pero la desventaja de que las coordenadas locales son por lo general completamente irrelevante - la elección de los atlas y el gráfico es arbitraria, y rara vez, si alguna vez parece jugar ningún papel en la geometría diferencial/topología.

Hay una mejor definición de diferenciables colectores, que no sé un buen libro de texto de referencia para, a través de las poleas de los locales de los anillos. Esta definición no implica ningún extraño opciones arbitrarias, y es coordinar libre. El párrafo 3 en la Wikipedia (que es la definición real) estados:

Una variedad diferenciable (de clase $C_k$) consta de un par de dólares(M, \mathcal{S}_M)$donde$M$es un espacio topológico, y$\mathcal{S}_M$es una gavilla de local$R$-álgebras definido en$M$, que localmente anillado space$(M,\mathcal{S}_M)$es localmente isomorfo a$(\mathbb{R}^n \mathcal{S})$.

Esto me confunde, porque yo no veo por qué una gavilla debe ser acíclicos, o donde las condiciones como "paracompact" o "completar la métrica del espacio" o de "segunda contables de Hausdorff" están implícitos. Por lo tanto:

1. La entrada de la wikipedia tiene un error (me gustaría cordura-comprobar esto antes de la edición de la entrada, debido a que esta es una definición fundamental que debe tener miles de lectura).
2. En algún lugar de esa definición, la condición de que $M$ ser paracompact es implícita.

Pregunta: si la definición anterior, de hecho, requieren que $M$ ser de segunda contables de Hausdorff o paracompact o lo que sea? O es de alguna manera implícito en algún lugar, y si es así, ¿dónde?

También, es esta definición dada con cuidado en cualquier libro de texto?

Actualización: he editado el artículo de la Wikipedia para exigir que se $M$ ser de segunda contables de Hausdorff. Pero todavía me pregunto si hay un libro de texto que cubren estas cosas, y si al requerir la gavilla para ser acíclicos podría haber funcionado como un lugar alternativo.

Answer 1

Para ampliar un poco en mi comentario anterior:

Ser isomorfo como un localmente anillado space $(\mathbb{R}^n\mathcal{S})$ no imponer condiciones adicionales sobre el subyacente topológico, espacio localmente anillado espacio más allá de que lo requieran para ser localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^n$. (Bueno, eso es una mentira: una estructura diferenciable, por supuesto, limitaciones en la topología de un colector, pero sólo muy sutiles: no imponer cualquiera de las limitaciones que usted está preguntando acerca de. Ver más abajo!)

Por lo tanto, si desea que su definición de un colector para incluir Hausdorff y la segunda contables y/o paracompact, es mejor que ponga que en forma explícita. (Y, aunque es una cuestión de gusto y de la terminología, en mi opinión, ¿ quiere esto.)

Creo que usted encontrará estas notas de la conferencia esclarecedor sobre estos puntos. En particular, en la página 4 doy un ejemplo (tomado de Thurston, el libro de las 3-variedades!) de Galois cubriendo mapa donde el espacio total es de un colector, pero el cociente de espacio no es Hausdorff. (Cuando me dio este ejemplo he mencionado que me gustaría que alguien me había dicho que la cobertura de los mapas que podrían destruir la propiedad de Hausdorff! Y, de hecho, el público parecía adecuadamente sacudido.)

Con respecto a tu otra pregunta ("También, es esta definición dada con cuidado en cualquier libro de texto?")...Estoy totalmente de acuerdo. Cuando me estaba dando estas charlas me encontré con que yo realmente quería hablar en términos de localmente anillado espacios! Véase en particular el Teorema 9 en mis notas, que contiene la desagradablemente anémico declaración: "Si $X$ extra de la estructura local, entonces $\Gamma \backslash$ X canónicamente hereda esta estructura." Lo que yo realmente quería decir es que, si $\pi: X \rightarrow \Gamma \barra invertida X$, entonces $\mathcal{S}_{\Gamma \barra invertida X} = \pi_* \mathcal{S}_X$! (Estoy en realidad no es el tipo de aritmética aparejador que tiene para expresar todo lo que en la gavilla de la teoría de la lengua, pero vamos ... este es claramente el camino a seguir en este ejemplo: que una pequeña ecuación vale más que mil palabras y una gran cantidad de mano que se agita sobre "la estructura local".)

Lo que es aún más irónico es que mi curso es de ser tomado por los estudiantes, casi todos de los cuales han tomado un curso completo sobre las poleas en el contexto de la geometría algebraica. Pero cualquiera que sea diferencial / geometría compleja / topología ellos saben, ellos saben que en el lenguaje clásico de coordinar los gráficos y matrices de derivadas parciales. Es realmente una situación extraña.

Me fantasear acerca de la enseñanza de largo de un año en cursos de posgrado de la llamada "geometría moderna", donde comenzamos con localmente anillado de los espacios y el uso de ellos en la topológico / liso / complejo analítica / de Riemann categorías, así como sólo para el técnico, cosas fundamentales en un tercer curso en la geometría algebraica. (Como para la mayoría de los cursos de posgrado quiero enseñar, la mejora de mi propia comprensión es un no-tan-secreto motivo ulterior.) En los últimos años muchas fantasías similares se han hecho realidad, pero esta vez hay dos obstáculos adicionales: (i) este curso cortes de forma transversal a través de varias disciplinas de manera implícita "compite" con otros cursos de postgrado ofrecemos y (ii) este debe ser un curso de la carrera temprana de los estudiantes, y a menos que completamente de lujo lugar de la UGA tal culta enfoque, um, plantean muchas de las cejas.

Answer 2

Me temo que no sé la respuesta a tu pregunta principal, pero me gustaría hablar de un libro de texto que se acerca a los colectores de la gavilla de la teoría de la perspectiva: Ramanan del Mundial de Cálculo.

Se incluye explícitamente la Hausdorff + segundo-contables de las condiciones, la definición de un colector de la siguiente manera:

Definición. Un diferencial de colector $M$ (de dimensión $n$) consta de

a) un espacio topológico que es Hausdorff y admite una contables de base para abrir sets, y

b) una gavilla de $\mathcal{A}^M=\mathcal{A}$ de subalgebras de la gavilla de funciones continuas en $M$.

Estas son necesarias para satisfacer la siguiente condición local. Para cualquier $x\in M$, no es un barrio abierto $U$ de $x$ y un homeomorphism de $U$, con un conjunto abierto $V$ en $\mathbb{R}^n$ que la restricción de $\mathcal{A}$ $U$ es la inversa de la imagen de la gavilla de funciones diferenciables en $V$.

Answer 3

1) Godement ha escrito un libro sobre la Mentira de los grupos donde se define y utiliza colectores a través de las poleas.
Esto no es sorprendente, ya que escribió un tratado sobre la gavilla de la teoría de los cerca de sesenta años, que sorprendentemente aún es el estándar de referencia sobre el tema.
La gavilla de la teoría es muy fácil, ya que el estructural gavilla es un anillo de funciones y por lo tanto automáticamente separados (= satisface el primer axioma de un presheaf a ser una gavilla).

El libro no tiene traducción al inglés (a mi conocimiento), pero si se puede superar ese obstáculo usted será capaz de saborear Godelment del inimitable estilo idiosincrásico, así como la experiencia de este gran matemático .

2) Desde que usted menciona acyclicity, permítanme señalar que de ello no se sigue de la definición, pero es un teorema.
Es una consecuencia de la existencia de particiones de la unidad, lo que implica que la estructura gavilla de $\mathcal C^k_M$ está muy bien, por lo tanto acíclicos.
Sin embargo particiones de la unidad requieren $M$ a ser paracompact, lo que podría ser un argumento para la inclusión de paracompactness (o equivalente) en la definición.