Límite de funciones polinómicas

Question

Problema: Dada una secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de funciones polinómicas tales que $f_n(x)=\sum_{j=0}^{n}\dfrac{j^3}{4^{j+2}}x^j$ hallar el mayor número real $r$ tal que $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge a una función $f:(0,r)\to\mathbb{R}$ puntualmente en $(0,r)$ . Demuestre también que $f$ es continua en $(0,r)$ .

Pregunta: He podido demostrar la convergencia puntual en el intervalo máximo $(0,4)$ tratando $(f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ como una serie de potencias y calculando su radio de convergencia. Sin embargo, no he podido demostrar que $f$ es continua en $(0,4)$ , ya que lo único que se me ocurrió fue utilizar que las funciones polinómicas son continuas.

Answer 1

Sea $x\in (0,4)$ . Elija $\alpha>0$ con $x+\alpha<4$ . Entonces, para cualquier $y\in (0,4)$ y $m>n$ , \begin{align} |f_m(y)-f_n(y)| &\leq \sum_{k=n+1}^m \frac{k^3}{4^{k+2}}\,|y|^k\\ \ \\ &\leq \sum_{k=n+1}^m \frac{k^3}{4^{k+2}}\,(x+\alpha)^k\\ \ \\ &=\frac1{16} \sum_{k=n+1}^m {k^3}\,\left(\frac{x+\alpha}4\right)^k\\ \ \\ &=\frac1{16} \sum_{k=n+1}^m {k^3}\,q^k\\ \ \\ \end{align} donde $q=\tfrac{x+\alpha}4\in(0,1)$ . Como esta última suma es la cola de una serie convergente, obtenemos que $\{f_n\}$ es uniformemente Cauchy, por lo que su límite es una función continua en $(0,4)$ .