inf y min en orden parcial

Question

Supongamos que $P$ es un orden parcial. ¿Es cierto que $\inf (\inf(a,b), \inf(c,d)) = \inf(a,b,c,d)$ ? Yo creo que sí. Pero no sé cómo comprobarlo. ¿Y si en lugar de $\inf$ Utilizo $\min$ ? Parece que es lo mismo. ¡¡Gracias por la ayuda!!

Answer 1

Por definición, si $\inf(a,b,c,d)$ existe, entonces es menor o igual que cada uno de $a,b,c,d$ . Dado que es menor o igual que $a,b$ es menor o igual que $\inf(a,b)$ (si existe) por definición de ínfimo, y análogamente es menor o igual que $\inf(c,d)$ (si es que existe). Por lo tanto, si ambos lados de la ecuación propuesta están definidos, entonces $$\inf\bigl(\inf(a,b),\inf(c,d)\bigr)\geq\inf(a,b,c,d),$$ de nuevo por definición de ínfimo. Por otra parte, si $\inf\bigl(\inf(a,b),\inf(c,d)\bigr)$ también es menor o igual que cada uno de los valores siguientes $a,b,c,d$ y así, una vez más por definición de mínimo, tenemos que si ambos lados de la ecuación propuesta están definidos, entonces $$\inf\bigl(\inf(a,b),\inf(c,d)\bigr)\leq\inf(a,b,c,d).$$ Por antisimetría, se cumple la identidad.

Se pueden utilizar argumentos similares con $\min$ en lugar de $\inf$ . Cabe señalar que, en un orden parcial general $P$ con elementos elegidos arbitrariamente $a,b,c,d$ puede que no exista $\inf(a,b)$ o $\inf(c,d)$ e incluso si existen, puede que no existan. $\inf\bigl(\inf(a,b),\inf(c,d)\bigr)$ . Es aún menos probable que existan todas cuando utilizamos $\min$ en lugar de $\inf$ ya que $\min$ requiere comparabilidad para tener sentido, y eso no tiene por qué ocurrir en los pedidos parciales.

Answer 2

Sea $a,b,c,d\in P$ .

Supongamos que $\inf (\inf(a,b), \inf(c,d)), \inf (a,b), \inf (c,d)$ y $\inf(a,b,c,d)$ existe.

Por definición de $\inf$ tenemos

1. $\inf (a,b)\leq a \wedge \inf (a,b)\leq b$
2. $\inf (c,d)\leq c \wedge \inf (c,d) \leq d$ .
3. $\inf(\inf(a,b),\inf(c,d))\leq \inf(a,b) \wedge \inf(\inf(a,b),\inf(c,d))\leq \inf(c,d)$

Por lo tanto por la transividad de la relación $\leq$ se deduce que $\inf(\inf(a,b),\inf(c,d))\leq x$ para todos $x\in \{a,b,c,d\}$ . Esto significa que $\inf(\inf(a,b),\inf(c,d))$ es un límite inferior para $\{a,b,c,d\}$ y por lo tanto $\color{blue}{\inf(\inf(a,b),\inf(c,d))\leq \inf (a,b,c,d)}$ .

Por otra parte $\inf(a,b,c,d)\leq\inf (a,b) \wedge \inf(a,b,c,d)\leq \inf (c,d)$ (¿por qué?). Así que $\inf(a,b,c,d)$ es un límite inferior para $\{\inf (a,b), \inf (c,d)\}$ lo que implica que $\color{blue}{\inf (a,b,c,d)\leq \inf (\inf (a,b),\inf (c,d))}$ .

Por la antisimetría de $\leq$ se obtiene el resultado deseado.