Tengo una conjetura inspirada en la siguiente observación. Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función biyectiva continua que satisface $f(x)+f^{-1}(x)=2x$ y tiene un punto fijo, entonces $f(x)=x$ . Esto se puede demostrar con bastante facilidad, aunque no es trivial.
Conjeturo que si omitimos la suposición de que $f$ tiene un punto fijo, entonces $f(x)=x+d$ para algunos $d\in \mathbb{R}$ . En términos más generales, creo que si $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es una biyección continua que satisface $f(x)+f^{-1}(x) = \Lambda x$ para algún mapa lineal biyectivo $\Lambda:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ entonces $f$ debe ser lineal.
Primero quiero abordar un problema aparentemente más sencillo: ¿existe un mapa lineal biyectivo $S$ con $S+S^{-1}=\Lambda$ ? Desgraciadamente no he podido resolver este problema, por lo que agradecería mucho que me dierais alguna sugerencia o un contraejemplo.
