Dejemos que $1 = d_1 < d_2 <\cdots< d_k = N$ sean todos los divisores de $N$ ordenados de forma creciente. Dado que $N=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$ Determinar $N$ . Los divisores incluyen $N$ . Parece que $130$ es una respuesta. ¿Hay otra respuesta posible para $N$ ?
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Erick Wong
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$N$ es par (si no es así, todos los $d_i$ son impar, haciendo $\sum_{i=1}^4 d_i^2$ incluso). Por lo tanto, $d_1=1$ y $d_2=2$ y en exactamente uno de $d_3$ y $d_4$ está en paz.
Supongamos que $4 \mid n$ . Entonces uno de $d_3, d_4$ es $4$ y el otro es un primo impar $p$ . Desde $N=21+p^2$ y $p \mid N$ tenemos $p \mid 21$ . Pero $4 \nmid 21+3^2$ y $5 \mid 21+7^2$ descartando las dos opciones de $p$ .
Así, $4 \nmid n$ . $d_3$ es un primo impar $p$ y $d_4$ es par. Como $d_4/2$ es un divisor menor, sólo podría ser $d_3$ . Por lo tanto, $N = 1+4+p^2+4p^2 = 5(1+p^2)$ . $3$ no puede dividir un número de esta forma, y claramente $5$ lo hace. Por lo tanto, $d_3=5$ y $d_4=10$ determinando de forma única $N=130$ .
La ecuación $$N = 1 + d_1^2 + d_2^2 + d_3^2$$ implica $N$ incluso reduciendo $\mod 2$ . Supongamos que $2^2|N$ entonces hay tres casos posibles:
- $N = 1 + 2^2 + 4^2 + 8^2$ - pero esto es imposible por la aritmética.
- $N = 1 + 2^2 + 4^2 + p^2$ (con $p>3$ ) - pero reduciendo $\mod p$ encontramos $0 \equiv 13 \pmod p$ así que $p = 13$ pero esto también es imposible por la aritmética.
- $N = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ - imposible por la aritmética.
Así que $2$ es la mayor potencia de $2$ dividiendo $N$ Así tenemos los casos:
- $N = 1 + 2^2 + p^2 + q^2$ (con $q < 2p$ ) pero esto es imposible reduciendo $\mod 2$
- $N = 1 + 2^2 + p^2 + (2p)^2$ así que $N = 5(1+p^2)$ y $5|N$ así que $p$ debe ser $3$ (imposible por la aritmética) o $5$ .
Esto demuestra que la única solución posible es $130$ .
