Determinar la expresión de la métrica riemannniana de $S^2$ inducida por $\mathbb{R}^3$

Question

Consideremos las coordenadas locales habituales $(\theta, \varphi)$ em $S^2 \subset \mathbb{R}^3$ definida por la parametrización $\phi:(0, \pi) \times (0, 2 \pi) \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por $$\phi(\theta, \varphi) = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$$ Utilizando esas coordenadas determinar la expresión de la métrica riemanniana inducida sobre $S^2$ por la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$ .

Conceptualmente la métrica riemanniana asociará cada punto $p \in S^2$ a un producto $\langle \cdot,\cdot \rangle_p$ en su espacio tangente $T_pM$ . Creo que lo que la pregunta quiere decir con métrica inducida por $\mathbb{R}^3$ está tomando $\langle \cdot,\cdot \rangle_p$ para ser el producto interno habitual en $\mathbb{R}^3$ . Tengo problemas para obtener una expresión explícita para la métrica.

Answer 1

Esencialmente, la métrica tendrá la forma $${\rm d}s^2 = E(\theta,\varphi){\rm d}\theta^2 +2F(\theta,\varphi){\rm d}\theta\,{\rm d}\varphi + G(\theta,\varphi){\rm d}\varphi^2,$$ donde $$E(\theta,\phi)=\left\langle\frac{\partial\phi}{\partial \theta}(\theta,\varphi),\frac{\partial\phi}{\partial \theta}(\theta,\varphi)\right\rangle,\quad F(\theta,\varphi)=\left\langle\frac{\partial\phi}{\partial \theta}(\theta,\varphi),\frac{\partial\phi}{\partial \varphi}(\theta,\varphi)\right\rangle,\quad\mbox{and}\quad G(\theta,\varphi)=\left\langle\frac{\partial\phi}{\partial \varphi}(\theta,\varphi),\frac{\partial\phi}{\partial \varphi}(\theta,\varphi)\right\rangle,$$ donde estos productos internos se calculan con el ambiente métrico. Se trata de un mecanismo general: si $(M^n,g)$ es una variedad riemanniana, $\iota:S \to M$ es un submanifold, y $(u^1,...,u^k)$ son las coordenadas de $S$ entonces $\iota^*g$ se describe en estas coordenadas como $$\sum_{i,j=1}^k a_{ij}\,{\rm d}u^i\,{\rm d}u^j,$$ donde $$a_{ij} = g\left({\rm d}\iota\left(\frac{\partial}{\partial u^i}\right),{\rm d}\iota\left(\frac{\partial}{\partial u^j}\right)\right).$$

Answer 2

Sea $(\theta,\varphi)$ sean las coordenadas definidas por $\phi^{-1}$ y $(x,y,z)$ sean las coordenadas estándar en $\mathbb{R}^{3}$ de modo que la métrica euclidiana es

$$g_{0}=dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz$$

Identificamos, para $p\in \mathbb{S}^{2}$ , $T_{p}\mathbb{S}^{2}$ como subespacio de $T_{p}\mathbb{R}^{3}$ (a través del diferencial $dj_{p}$ de la inclusión). Ahora bien, si $U$ es el dominio de $(\theta,\varphi)$ y $p\in U$ tenemos

$$ \dfrac{\partial}{\partial \theta}=\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\dfrac{\partial}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\dfrac{\partial}{\partial z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \varphi}=\dfrac{\partial x}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial z} $$

Desde $x=\sin \theta \cos \varphi$ , $y=\sin \theta \sin \varphi$ , $z=\cos \theta$ , obtenemos:

$$ \dfrac{\partial}{\partial \theta}=\cos \theta \cos \varphi\dfrac{\partial}{\partial x}+\cos \theta \sin \varphi\dfrac{\partial}{\partial y}-\sin \theta\dfrac{\partial}{\partial z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \varphi}=-\sin \theta \sin \varphi\dfrac{\partial}{\partial x}+\sin \theta \cos \varphi\dfrac{\partial}{\partial y} $$

Por fin, $g(v,w)=g_{0}(v,w)$ para $v,w\in T_{p}\mathbb{S}^{2}$ . Dado que los vectores base de $T_{p}\mathbb{R}^{3}$ son ortonormales:

$$ g_{\theta \theta}=\cos^{2}\theta \cos^{2}\varphi+\cos^{2}\theta \sin^{2}\varphi+\sin^{2}\theta=1 \\ g_{\theta \varphi}=g_{\varphi \theta}=-\cos \theta \cos \varphi \sin \theta \sin \varphi+\cos \theta \cos \varphi \sin \theta \sin \varphi=0 \\ g_{\varphi \varphi}=\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi=\sin^{2}\theta. $$

Espero que le sirva de ayuda.