Existencia de medidas con marginales 1d dados

Question

Se trata de una pregunta sobre marginales de medidas de probabilidad, que parece no tener relación con las preguntas anteriores.

Sea $\mathbb{S}^{d-1}\subset \mathbb{R}^d$ sea la esfera unitaria. Supongamos que para cada $\theta\in \mathbb{S}^{d-1}$ existe una medida de probabilidad asociada $\mu_\theta$ en $\mathbb{R}$ .

Pregunta: ¿Bajo qué condiciones existe una medida de probabilidad $\mu$ en $\mathbb{R}^d$ tal que

$$\mbox{if }X\sim \mu,\mbox{ then }\langle \theta,X\rangle \sim \mu_\theta\mbox{ for all }\theta\in \mathbb{S}^{d-1}.$$

(Aquí $\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle$ es el producto interno euclidiano y $A\sim \nu$ significa objeto $A$ tiene prob. ley $\nu$ .)

A condición necesaria es que el mapa $\theta\mapsto \mu_\theta$ sea continua bajo la topología débil de las medidas de probabilidad sobre $\mathbb{R}$ . ¿Es suficiente esta condición?

( Motivación proviene del estudio de la distancia Wasserstein rebanada. Si la respuesta a la pregunta anterior es "sí", entonces en principio se pueden "calcular fácilmente" baricentros para SW).

Answer 1

$\newcommand\th\theta\newcommand\vpi\varphi\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\S{\mathbb S^{d-1}}$ Versión resumida de la respuesta: Si $\th\cdot X\sim\mu_\th$ para todos $\th\in\S$ entonces para cada $t\in\R^d$ la distribución, digamos $\mu_t$ de $t\cdot X$ se determina mediante un simple reescalado de $\mu_\th$ (el caso $t=0$ es trivial). Por otra parte, por Teorema de Bochner una familia $(\mu_t)_{t\in\R^d}$ de medidas de probabilidad sobre $\R$ es la familia de las distribuciones de las variables aleatorias $t\cdot X$ (para un vector aleatorio $X$ en $\R^d$ ) si la función $\R^d\ni t\mapsto\vpi(t):=\int_{\R}e^{ix}\mu_t(dx)$ es positiva definida y continua. Así, para cualquier familia dada $(\mu_\th)_{\th\in\S}$ de medidas de probabilidad sobre $\R$ su condición deseada en cuestión se cumplirá si y sólo si $\vpi$ es positiva definida y continua.

Versión detallada de la respuesta: Supongamos que $$\text{there is a probability measure $ \mu $ on $ \R^d $ such that},\\ \text{if $ X\sim\mu $, then $ \th\cdot X\sim\mu_th $ for all $ \th\in\S $.}\tag{0}$$ Entonces $$E_\mu f(\th\cdot X)=\int_{\R}f\,d\mu_\th \tag{1}$$ para todas las funciones continuas acotadas $f\colon\R\to\R$ donde $E_\mu$ denota la expectativa suponiendo que $X\sim\mu$ . En particular, (1) implica $$E_\mu e^{ir\th\cdot X}=\int_{\R}e^{irx}\,\mu_\th(dx) \tag{2}$$ para todos $r\in\R$ y todos $\th\in\S$ de modo que $$E_\mu e^{it\cdot X}=\vpi(t)$$ para todos $t\in\R^d$ , donde $$\vpi(t):= \left\{ \begin{aligned} \int_{\R}e^{i|t|x}\,\mu_{t/|t|}(dx) &\text{ if }t\in\R^d\setminus\{0\}, \\ 1 &\text{ if }t=0. \end{aligned} \right. \tag{3}$$ Por lo tanto, si se cumple la condición (0), entonces la función $\vpi$ -- siendo la función característica (f.c.) de $X$ -- es definida positiva y continua.

Viceversa, por Teorema de Bochner si $\vpi$ es definida positiva y continua, entonces existe una medida de probabilidad $\mu$ en $\R^d$ tal que $E_\mu e^{it\cdot X}=\vpi(t)$ para todos $t\in\R^d$ de modo que (2) se cumple para todos $r\in\R$ y todos $\th\in\S$ es decir, el f.c. de $\th\cdot X$ es el mismo que el c.f. de $\mu_\th$ lo que significa que $\th\cdot X\sim\mu_\th$ . Por tanto, (0) se cumple si la función $\vpi$ definida por (3), es definida positiva y continua.

Así, para cualquier familia $(\mu_\th)_{\th\in\S}$ de medidas de probabilidad sobre $\R$ la condición (0) se cumplirá si y sólo si $\vpi$ es positiva definida y continua.

---

Algo relacionado con esto es el trabajo de Shepp y sus coautores sobre tomografía probabilística, acerca de la restauración parcial de la distribución de un vector aleatorio $X$ en $\R^d$ basada en las distribuciones conocidas de un número finito de funcionales lineales de $X$ ; véase, por ejemplo este documento y referencias allí.