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Sea $X$ sea un espacio de Banach separable, $\phi\in C(X;X)$ sea un mapa no afín continuo inyectivo, y $A$ sea una densa $G_{\delta}$ subconjunto de $X$ . ¿Qué tamaño puede $orb(\phi,A)$ ¿ser? Dónde: $$ \begin{aligned} &orb(\phi,A)\triangleq \bigcup_{a \in A} orb(\phi,a),\\ & orb(\phi,a) \triangleq \{\phi^n(a)\}_{n \in \mathbb{N}}, \end{aligned} $$
¿Qué podemos decir sobre el tamaño de $orb(\phi,A)$ ? Más concretamente, ¿ $X$ satisfacer cualquiera de:
- Si $\mu$ es una medida de Borel no atómica y estrictamente positiva sobre $X$ entonces es $orb(\phi,A)$ de pleno $\mu$ -medida,
- Es $orb(\phi,A)$ Haar-null,
- $orb(\phi,A)$ cubre $X-E$ donde $E$ es un subespacio de dimensión finita de $X$ ?
