Análisis Real: Demostración de las definiciones equivalentes de la derivada.

Question

Intento demostrarme a mí mismo que, partiendo de la definición de la derivada

$$f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

[Nota: Escribí lo anterior por error, como me señalaron en un comentario. Como creo que esta "errata" fue realmente una gran fuente de mi confusión, lo dejo tal cual, para ver por qué llegué a hacer la pregunta. Por supuesto, $f'(x)$ debe ser $f'(x_0)$ .]

equivale a

$$f'(x)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$

Sé que puedo definir $t=x-x_0$ y entonces el cociente de diferencias se convierte en

$$\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}$$

Ampliando la definición del límite en la definición de la derivada tenemos, para cualquier $\varepsilon>0$ hay algo de $\delta>0$ tal que

$$|x-x_0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x)\right|<\varepsilon$$

Esto equivale a

$$|t|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}-f'(x)\right|<\varepsilon$$

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Así que mi problema es que lo que parece decir la segunda definición del límite no es lo que yo quiero que diga. Parece decir:

$$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t} = f'(x)$$

Mientras que a mí me parece que debería decir:

$$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t} = f'(x_0)$$

Ahora también estoy algo perplejo por lo que me parece un cambio de $x_0$ a $x$ de la forma típica en que se realiza esta conversión. Típicamente, en un contexto de cálculo más simple, la gente sólo haría el argumento rápido (sin referencia a la definición analítica del límite):

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t} = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$

Esto me molesta un poco porque cambia sin explicación de $x$ siendo una variable y $x_0$ siendo un parámetro fijo, a $x_0$ siendo una variable. Sin embargo, aunque entendiera este cambio y me sintiera cómodo con él, me parece que no se puede realizar el mismo cambio dentro de las definiciones del límite, ya que se estarían sustituyendo de forma incoherente algunas instancias de $x$ con $x_0$ aunque este valor conserve su significado anterior en otra parte de la expresión.

Answer 1

Creo que tiene usted razón en su mayor parte, salvo en lo que se refiere a las definiciones: $$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ $$ f'(x_0)=\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}.$$ Por lo tanto, la dificultad que le preocupa no se encuentra nunca. Uno simplemente realiza el "cambio de variables" $t=x-x_0$ y observa que como $x\to x_0$ , $t\to 0$ y a la inversa.

Answer 2

No tiene sentido definir $$f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ ya que la expresión después de $=$ sólo depende de $x_0$ Por lo tanto, las posibles definiciones correctas son $$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\text{ and }f'(x_0)=\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}t,$$ que son claramente equivalentes (dado $\varepsilon>0$ si a $\delta>0$ funciona para uno de ellos, entonces también funciona para el otro).