La raíz cúbica de discriminante de curva elíptica

Question

Deje $E/K$ ser una curva elíptica sobre un campo $K$, con discriminante $\Delta$. Entonces el polinomio $x^3-\Delta$ tiene una raíz (y, por tanto, todas las raíces desde Galois) en $K(E[3])$; esto puede ser mostrado laboriosamente a través de la resolución de la 3-división de polinomio (cuarto grado).

Hay una mejor/forma más intuitiva de ver esto y por favor puede proporcionar una referencia adecuada para el método anterior, o lo que usted sugiere?

Answer 1

Una manera de pensar acerca de esto es a través de la estructura modular de las curvas de parametrización un curvas elípticas $E$ con $E[3]$ o $\Delta^{1/3}$ racional. Tenga en cuenta que $\Delta^{1/3}$ es racional iff $j^{1/3}$ es racional, debido a $j = E_4^3 / \Delta$.

Supongamos por simplicidad que $K$ contiene las raíces cúbicas de la unidad (debido a que $K(E[3])$ contiene en cualquier caso, gracias a la Weil emparejamiento). El $E[3]$ curva es el sistema modular de la curva de $X(3)$, con un mapa de $X(3) \to X(1)$ que se olvida de la $3$-torsión de la estructura, y es de Galois con grupo de ${\rm PSL}_2({\bf Z}/3{\bf Z}) \cong A_4$.

Ahora $A_4$ tiene un subgrupo normal, la "Klein $4$-grupo" $V_4$ que consiste en la identidad y el tres doble transposiciones. (El $V$ representa alemán "Vierergruppe".) Por lo $X(3) / V_4$ es un Galois de la cubierta, se $X'(3)$ $X(1)$ con el grupo $A_4 / V_4 \cong {\bf Z} / 3 {\bf Z}$, es decir, un 3:1 cíclica de la cubierta. Una vez $K$ contiene raíces cúbicas de la unidad, Kummer teoría dice que 3:1 cíclica de la cubierta se obtiene por el que se adhiere a la raíz cúbica para la función de campo; aquí esta la función de campo es $K(j)$, así que la función de campo de $K(X'(3))$ $K(j,F^{1/3})$ donde $F$ es alguna función racional de $j$ ya que no es un cubo.

El remate es que podemos tomar $F=j$. Ya que la función de campo de $X'(3)$ está contenida en la función de campo de $X(3)$, esto se explica por qué $\Delta^{1/3}$ es una función racional de las coordenadas de $E[3]$.

El hecho de que $K(X'(3)) = K(j^{1/3})$ puede casi ser recuperados a partir de la ramificación de la estructura del mapa de $X(3) \to X(1)$. Es ramificado sólo por encima de $j=\infty$, $j=0$, y $j=1728$, con un ciclo de estructuras $(3,1)$, $(3,1)$, $(2,2)$ respectivamente. Por lo tanto la cubierta $X'(3) \to X(1)$ es ramificado, sólo por encima de $j=0$$j=\infty$, lo $K(X'(3))$ debe ser $K((cj)^{1/3})$ para algunas constantes $c \in K^*$. El hecho de que podemos utilizar $c=1$ toma un poco más de trabajo, pero una vez que sabemos que la tapa este formulario es suficiente solo para tratar algunos conveniente $E$ $j(E)\neq 0$ para completar la prueba.