$\log_{\alpha}(\log_{\alpha}^5+\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5)-50)=50\;\;$ y $\;\;\log_{\alpha}(\log_{\alpha}x)=100$ entonces $\;x=?$

Question

¿Cuál es el valor de $x$ ? $$\begin{cases} {\log_{\alpha}(\log_{\alpha}^5+\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5)-50)=50} \\ {\log_{\alpha}(\log_{\alpha}x)=100\;\;,\;\;\alpha>1\;\;,\;\; x>1} \end{cases}$$

Aquí está mi trabajo:

En primer lugar, creo que $\log^5_{\alpha}$ es una errata en el problema original y es lo mismo que $\log_{\alpha}5$ . Tenemos

$$\log_{\alpha}(\log_{\alpha}x)=2\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5+\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5)-50)$$

$$\log_{\alpha}x=(\log_{\alpha}5+\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5)-50)^2$$

Y de $\log_{\alpha}(\log_{\alpha}x)=100$ tenemos $\log_{\alpha}x=\alpha^{100}$ . Por lo tanto $$\log_{\alpha}5+\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5)-50=\alpha^{50}$$ $$\log_{\alpha}(5\log_{\alpha}5)=\alpha^{50}+50$$ Pero no estoy seguro de cómo encontrar $x=\alpha^{\alpha^{100}}$

Answer 1

$f(x)=\log_{x}(\log_{x}5+\log_{x}(\log_{x}5)-50)-50$ es una función estrictamente decreciente, por lo que sólo existe una solución para $x$ .
Por ensayo y error descubrimos que $f(x)=0$ cuando $\log_{x}(\log_{x}5)=50$ .
Por lo tanto $\log_{\alpha}(\log_{\alpha}5)=50$
$$\implies {\alpha^{50}}=\log_{\alpha}5$$ $$\implies \alpha^{\alpha^{50}}=5$$

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Valor de $ \alpha^{\alpha^{50}}$ aumenta con el incremento de $\alpha$ por lo que sólo puede haber una solución para $\alpha^{\alpha^{50}}=5$ .
Podemos ver que $\alpha=5^{1/25}$ cumple la condición.
Por lo tanto $$x=\alpha^{\alpha^{100}}=5^{25}$$