El tensor de intensidad de campo se define como
$$F_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu +g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c$$
donde $f^{abc}$ son las constantes de estructura antisimétrica y $A_\mu^a$ los campos gauge que se transforman como sigue:
$$A_\mu^a\rightarrow A^a_\mu+\frac{1}{g}\partial_\mu \alpha^a-f^{abc}\alpha^b A_\mu^c$$
donde $\alpha^a$ es infinitesimal y parametriza la transformación gauge. Por ejemplo, un campo se transforma como $\psi\rightarrow U\psi$ donde $U=\exp i\alpha^a T^a\approx 1 +i\alpha^a T^a$ donde $T^a$ son los generadores.
Quiero calcular la transformación de $F^a_{\mu\nu}$ introduciendo la transformación de $A_\mu^a$ :
$$F_{\mu\nu}^a\rightarrow \partial_\mu (A^a_\nu+\frac{1}{g}\partial_\nu \alpha^a-f^{abc}\alpha^b A_\nu^c)-\partial_\nu (A^a_\mu+\frac{1}{g}\partial_\mu \alpha^a-f^{abc}\alpha^b A_\mu^c) +g f^{abc} (A^b_\mu+\frac{1}{g}\partial_\mu \alpha^b-f^{bde}\alpha^d A_\mu^e) (A^c_\nu+\frac{1}{g}\partial_\nu \alpha^c-f^{chi}\alpha^h A_\nu^i)\\ = F_{\mu\nu}^a-f^{abc}\alpha^b(\partial_\mu A_\nu^c-\partial_\nu A_\mu^c)-f^{chi}\alpha^h gf^{abc}(A_\mu^b A_\nu^i-A_\mu^i A_\nu^b)$$
El último término no puede ser correcto, ya que sé que la respuesta correcta es:
$$F_{\mu\nu}^a\rightarrow F_{\mu\nu}^a-f^{abc}\alpha^b(\partial_\mu A_\nu^c-\partial_\nu A_\mu^c+g f^{cde}A_\mu^dA_\nu^e)$$
¿Puede detectar mi error?
