Cómo hallar el límite de la sucesión $a_n =n(1-\cos\frac{1}{n})$

Question

Mi respuesta fue la secuencia $$\lim_{n\to \infty}a_n =\lim_{n\to \infty} n\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)$$ diverge pero según el libro converge a $0$ . Quiero saber cómo se obtiene esta respuesta.

Answer 1

Escribe la expresión como $\frac{1-\cos1/n}{1/n}$ escriba $\frac1n=x$ . El límite dado equivale entonces a $$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}1=0$$ (utilizando la regla de l'Hôpital anterior; existen múltiples derivaciones).

Answer 2

Pista:

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}x\stackrel{L'Hospital}=\lim_{x\to0}\sin x=0$$

O también

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}x=\left(-\cos x)'\right|_{x=0}=\sin 0=0$$

Answer 3

$$L=\lim_{n \rightarrow \infty} n (1-\cos(1/n)) =\lim_{n \rightarrow} n [1-(1-1/(2n^2))] =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n} =0.$$ Aquí hemos utilizado $\cos x \approx 1-x^2/2, ~when~ x\rightarrow 0$