Demuestre que la función $f: [0, 2 \pi) \to S^1$ definido por $f(t)=e^{it}=(\cos t, \sin t)$ no es homeomórfica.
Contesta:
Esta función es biyectiva y continua. Pero $f^{-1}$ no es continua en $(1,0)$ .
Pero ¿cómo demostrar que $f^{-1}$ no es continua en $(1,0)$ .
A partir de la definición de función continua, llamamos $f:X \to Y$ una función continua si para $x \in X$ hay barrios $U$ en $X$ y $V$ en $Y$ con $x \in U$ y $f(x) \in V$ entonces $f(U) \subset V$ .
Siguiendo esta definición,
Tenemos $f^{-1}(1,0)=0 $ .
Sea $U$ cualquier conjunto abierto que contenga $(1,0)$ y $V$ cualquier conjunto abierto que contenga $0$ tenemos que demostrar que $f^{-1}(U) \not\subset V$ .
Pero no puedo mostrarlo.
¿Puede alguien mostrar el trabajo con algunos detalles que $f^{-1}$ no es continua en $(1,0)$ ?
A continuación se ofrece una explicación en Wikipedia:
La función $f^{-1}$ no es continua en el punto $( 1 , 0 )$ porque aunque $ f^{-1}$ mapas $( 1 , 0 )$ a $0$ cualquier vecindad de este punto también incluye puntos que la función mapea cerca de $2 \pi $ pero los puntos que asigna a números intermedios quedan fuera de la vecindad.
Pero no pude entenderlo con claridad. ¿Cómo eligieron el barrio?
