Prueba de la fórmula del desplumador

Question

Acabo de leer una prueba de la Fórmula de Plucker en el libro de Rick Miranda que dice

Una curva plana proyectiva suave de grado $d$ tiene género $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ .

Para ello define el mapa $\pi : X \rightarrow P^1$ tal que $\pi[x:y:z]=[x:z]$ y afirma que el mapa tiene grado $d$ y aquí es donde tengo mi duda, sé que esto es cierto si $X$ viene dada por una función $F$ de la forma $x^d+y^d+z^d$ así que tal vez esto es cierto porque podemos hacer algún tipo de cambio de variable y asumir esto? También he intentado ver que su grado $d$ computándolo pero no llegamos a ninguna parte, ya que sabemos $\pi^{-1}[1:0]=[1:y:0]$ tal que $F[1:y:0] = 0$ tendremos $d$ y sabemos que un punto es un punto de ramificación para este mapa si $\frac{\partial F}{\partial y}(p)=0$ y sabemos que $F[x:y:0]=\frac{1}{d}(\frac{\partial F}{\partial x} + y\frac{\partial F}{\partial y})$ pero no encuentro la razón $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$ así que cualquier ayuda es bienvenida. O es que cambiando coordenadas podemos suponer que la curva proyectiva suave vendrá dada por $x^d+y^d+z^d=0$ ?

También otra cosa que no entiendo muy bien, al demostrar que el grado de una curva proyectiva suave $X$ será el grado de un divisor hiperplano suponemos que el divisor hiperplano vendrá dado por $G(x,y,z)=x$ y que $[0:0:1]$ no está en $X$ mi pregunta es ¿por qué podemos suponer ambas cosas? Entiendo que cambiando las coordenadas podríamos obtener una pero no veo como podríamos obtener las dos sin perder algo de generalidad. Gracias de antemano.

Answer 1

Para hallar el grado de $\pi$ Consideremos un punto general $[\lambda:1] \in \mathbb{P}^1$ es decir, un punto no ramificado. Las preimágenes de $[\lambda:1]$ sería $[\lambda:y:1]$ tal que $F(\lambda,y,1)=0 $ . Obsérvese que el punto $[0:1:0]$ se ha eliminado de $X$ por un cambio de coordenadas, de lo contrario el mapa $\pi$ no tendría sentido.

Por lo tanto, $F(\lambda,y,1)$ es un grado $d$ polinomio en $y$ y por lo tanto tiene $d$ raíces. Sea $f(y) = F(\lambda,y,1)$ . Tenga en cuenta que $$ \frac{\partial F}{\partial y}(\lambda,y,1) = \frac{\partial f}{\partial y}(y)$$ y, $y_0$ es una raíz repetitiva de $f \implies \partial f/\partial y(y_0)=0 \implies \partial F/\partial y(\lambda,y_0,1)=0 \implies [\lambda:y_0:1]$ es un punto de ramificación de $\pi$ .

Por lo tanto, todas las raíces de $f$ son distintos y, por tanto $\pi$ tiene grado $d$ .

Para la segunda parte, primero puedes hacer una transformación de coordenadas de forma que $G(x,y,z)=x$ y luego seguir con otra transformación de sólo el $yz$ plano para eliminar el punto $(0,1)$ de las raíces de $F(0,y,z)$ .