Utilizando el teorema de Fubini para demostrar que $\int_0^T\int_0^{\tau}\xi(t)dtd\tau=\int_0^T(T-t)\xi(t)dt$

Question

Usando el teorema de Fubini tenemos,

$$ \int_0^T\int_0^{\tau}\xi(t)dtd\tau=\int_0^T(T-t)\xi(t)dt\quad\forall \xi\in L_1(0,T)$$

con $t\in(0,\tau)$ , $\tau\in(0,T)$

¿Alguien puede dar una pista?

Answer 1

Uso de la función de indicador

$$1_{(t \leqslant \tau)}(t,\tau)= \begin{cases}1, \,\, t \leqslant \tau \\0, \,\,t> \tau \end{cases},$$

podemos ampliar la región de integración al rectángulo $[0,T] \times [0,T]$ :

$$\int_0^T\int_0^{\tau}\xi(t) \, dt \,d\tau = \int_0^T\int_0^{T}\xi(t) 1_{(t \leqslant \tau)}\, dt \,d\tau .$$

Aplique el teorema de Fubini para intercambiar el orden de integración, obteniendo

$$\begin{align}\int_0^T\int_0^{\tau}\xi(t) \, dt \,d\tau &= \int_0^T\int_0^{T}\xi(t) 1_{(t \leqslant \tau)}\, d\tau \,dt \\ &= \int_0^T\int_t^{T} \xi(t)\, d\tau \,dt \\ &= \int_0^T\xi(t)(T-t) \, dt.\end{align}$$